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BCE Maths approfondies emlyon ECS 2003

Epreuve de maths approfondies - ECS 2003

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Intégrales généraliséesFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Algèbre bilinéaire et espaces euclidiensAlgèbre linéaireRéductionSéries et familles sommables
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Banque
BCE
Année
2003
Filière
ECS
Matière
Mathématiques
Annales BCE ECS MathématiquesBCE ECS 2003ECS MathématiquesMathématiques 2003

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Description

Annale de maths approfondies BCE emlyon pour la filiere ECS, session 2003.

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5061d99e-b2a6-43de-ba96-cd4115644261

E.M.Lyon. Math 1 . Option S. 2003

PROBLEME 1

On considère l'application définie, pour tout réel , par :
et on considère, pour tout entier , les intégrales :

Partie I: Résultats généraux sur et

  1. Montrer que est continue sur et que, pour tout entier , l'intégrale existe.
    2)a) Montrer que est strictement positive sur et que est strictement décroissante sur .
    b) Établir, pour tout réel .
    3)a) Montrer, pour tout réel .
    (On pourra étudier les variations sur de l'application ).
    b) En déduire, pour tout entier .

Partie II : Étude de

1)a) Montrer, pour tout réel : .
b) En déduire que les intégrales et sont convergentes.
2)a) Montrer, pour tout réel .
b) Montrer que l'intégrale converge.
c) Déduire des deux questions précédentes que l'intégrale n'est pas absolument convergente.
Partie III : Étude de , pour
1)a) Montrer que, pour tout entier , l'intégrale est convergente.
b) Établir, pour tout entier
2)a) Montrer que la suite est décroissante.
b) Montrer que la suite converge ; on note sa limite.
c) Établir, pour tout entier et tout réel :
(On pourra utiliser I.2.).
d) En déduire, pour tout réel et conclure : .
3)a) Montrer que, pour tout entier , l'intégrale est convergente.
b) Établir : .

Partie IV : Étude de la série de terme général

  1. Montrer, pour tout entier : .
  2. En déduire, pour tout entier :
  1. En déduire que la série diverge. (On pourra utiliser I.3.b.).

PROBLEME 2

Dans tout le problème, est un entier naturel supérieur ou égal à 2 , et est un espace euclidien de dimension dont le produit scalaire est noté . éé. l'application identique de , et l'application nulle de .
Si est un sous-espace vectoriel de , on note le sous-espace vectoriel supplémentaire orthogonal de dans E.
Le projecteur de sur parallèlement à est appelé projecteur orthogonal sur .
Pour tout endomorphisme de et toute valeur propre de , on note le sous-espace propre de associé à la valeur propre .

Partie I: Inverse généralisé d'un endomorphisme symétrique

On considère un endomorphisme symétrique de , c'est-à-dire un endomorphisme tel que :
On suppose de plus que est non inversible et non nul.
  1. Montrer que 0 est valeur propre de et que admet au-moins une valeur propre non nulle.
    2)a) Soient et deux valeurs propres de .
Montrer, pour tout vecteur de et pour tout vecteur de :
b) En déduire que les sous-espaces propres de sont deux à deux orthogonaux.
3) Montrer que les sous-espaces vectoriels et sont supplémentaires orthogonaux dans .
On suppose que admet exactement valeurs propres deux à deux distinctes avec et .
Pour tout entier naturel inférieur ou égal à , on note le projecteur orthogonal sur .
4) Soit un vecteur de .
a) Montrer qu'il existe un unique ( )-uplet ( ) de tel que .
b) Pour tout entier naturel inférieur ou égal à , montrer : .
Ainsi, la relation suivante est clairement vérifiée :
5)a) Etablir, pour tout couple d'entiers naturels inférieurs ou égaux à :
b) Montrer : .
c) Montrer que le projecteur orthogonal sur vérifie :
On note l'endomorphisme de défini par .
On dit que est l'inverse généralisé de .
6)a) Montrer : .
b) En déduire : .
7) Soit un vecteur de .
a) Montrer :
b) En déduire que est le vecteur de de plus petite norme vérifiant :

Partie II : Application à un exemple

Dans cette question, est un espace euclidien de dimension 4 et est une base orthonormale de . On note :
Soit l'endomorphisme de associé à la matrice relativement à la base .
  1. Justifier que est un endomorphisme symétrique non nul et non inversible.
  2. Montrer que admet exactement trois valeurs propres distinctes avec .
    On note le projecteur orthogonal sur et la matrice associée à relativement à la base .
    On note le projecteur orthogonal sur et la matrice associée à relativement à la base .
  3. Montrer : .
    4)a) Montrer que est de dimension 1 et déterminer un vecteur de tel que .
    b) Montrer : .
    c) Déterminer la matrice .
  4. En déduire la matrice associée à relativement à la base .

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