BCE Maths approfondies EDHEC ECS 2020

Epreuve de maths approfondies - ECS 2020

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Calcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesProbabilités finies, discrètes et dénombrementProbabilités continuesStatistiquesAlgèbre linéaireSéries entières (et Fourier)

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Description

Annale de maths approfondies BCE EDHEC pour la filiere ECS, session 2020.

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18b81c84-b9f6-47ba-bbb0-95091660b044

Conception : EDHEC BS

OPTION SCIENTIFIQUE

MATHÉMATIQUES

Mardi 5 mai 2020, de 8 h. à 12 h.

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Aucun document n'est autorisé. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

Exercice 1

Soit

la fonction définie par :

Montrer que est de classe sur .
Déterminer le seul point critique .
a) Calculer les valeurs des dérivées partielles d'ordre 2 de en .
b) Former la hessienne de au point et vérifier qu'elle est diagonale. Montrer que présente un minimum local en . Préciser la valeur de ce minimum.
a) Montrer que, pour tout de .
b) Que peut-on en déduire pour le minimum de trouvé à la question 3b) ?
On souhaite étudier les extrema de sous la contrainte linéaire ( ) : . Montrer que, sous la contrainte présente un minimum global au point . Quelle est sa valeur?
On souhaite maintenant étudier les extrema de sous la contrainte .

Montrer que

possède un maximum global sous la contrainte

. En quel point est-il atteint? Quelle est sa valeur ?

Exercice 2

On désigne par

un entier naturel supérieur ou égal à 2 .
Soit

une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur le segment

, où

(theta) désigne un réel strictement positif.

On note une densité de sa fonction de répartition, son espérance et sa variance.
a) Rappeler l'expression explicite de en fonction de et .
b) Donner les valeurs de et .

Dans la suite, on suppose que le réel

est inconnu et on en propose deux estimateurs. Pour construire ces estimateurs, on dispose d'un échantillon (

) de la loi de

, ce qui signifie que

sont

variables aléatoires, définies sur le même espace probabilisé (

), mutuellement indépendantes et de même loi que

.
2) On pose

et on admet que

est une variable aléatoire, elle aussi, définie

.
a) On rappelle qu'en Scilab, la commande grand(

, 'unf',

) simule

variables aléatoires indépendantes suivant toutes la loi uniforme sur

. Écrire des commandes Scilab permettant d'entrer les valeurs des variables qui sont nécessaires et de simuler

.
b) On note

la fonction de répartition de

. Pour tout réel

, écrire

à l'aide de

puis déterminer explicitement

.
c) En déduire que

est une variable aléatoire à densité, puis donner une densité

.
d) Montrer que

est un estimateur asymptotiquement sans biais de

.
3) On pose maintenant

. Déterminer

puis proposer un estimateur

, construit de façon affine à partir de

, et qui soit un estimateur sans biais de

Définition

On dit qu'un estimateur

est d'ordre de convergence

lorsque la suite

converge en loi vers une variable aléatoire qui n'est pas quasi-certainement nulle.
4) a) Utiliser le théorème de Slutsky pour établir le résultat suivant : si une suite

de variables aléatoires converge en loi vers une variable aléatoire

et si

est une suite de réels qui converge vers le réel

, alors la suite

converge en loi vers la variable aléatoire

.
b) Déduire de ce résultat l'unicité de l'ordre de convergence d'un estimateur (on pourra raisonner par l'absurde en supposant qu'un estimateur

possède deux ordres distincts,

, avec par exemple

).
5) On considère, dans cette question, une variable aléatoire

suivant la loi exponentielle de paramètre

et on pose

. Déterminer la fonction de répartition, que l'on notera

, de

.
6) a) Justifier que, pour tout réel

positif ou nul, on a

.
b) Montrer que, pour tout réel

strictement négatif et pour tout entier naturel

supérieur à

, on a l'égalité :

c) Établir enfin que

converge en loi vers la variable aléatoire

. Conclure quant à l'ordre de convergence de

.
7) a) Justifier que

, où

est l'estimateur présenté à la troisième question.
b) On pose

. En appliquant le théorème limite central à la suite de variables aléatoires

, montrer que

converge en loi vers une variable aléatoire

dont on précisera la loi.
c) Vérifier que

et en déduire que

converge en loi vers une variable aléatoire suivant la loi normale

. Donner l'ordre de convergence de

Exercice 3

Dans tout l'exercice, on désigne par

-espace vectoriel de dimension

, on note Id l'endomorphisme identité de

l'endomorphisme nul de

. Pour tout endomorphisme

, on appelle trace de

, le réel, noté

, égal à la trace de n'importe laquelle des matrices représentant

. On admet que l'application trace, ainsi définie, est une forme linéaire sur

Partie 1 : préliminaires

On considère un projecteur de , c'est-à-dire un endomorphisme de tel que .
a) Montrer que
b) Établir que
c) En déduire que est diagonalisable et que l'on a :

Montrer par récurrence sur que, si sont des sous-espaces vectoriels de , alors on a l'inégalité :

Partie 2 : condition nécessaire et suffisante pour qu'une somme de projecteurs soit un projecteur

Soit un entier naturel

supérieur ou égal à 2 . On considère des projecteurs de

, notés

, et on pose

.
3) Montrer que si, pour tout couple

tel que

, on a

, alors

est un projecteur.

On suppose dans toute la suite que

est un projecteur et on souhaite montrer que, pour tout couple

tel que

, on a

.
4) a) Montrer que

est inclus dans

.
b) Établir, grâce aux résultats de la partie 1, que

, puis en déduire que

.
c) Établir finalement l'égalité :

a) Montrer que, pour tout de , on a l'égalité .
b) En déduire que, pour tout de , on a : .
c) Montrer alors que, pour tout couple de tel que , on a .
Conclure quant à l'objectif de cette partie.

Problème

Partie 1 : préliminaires (les trois questions sont indépendantes)

Pour tout entier naturel non nul, on pose : .
a) Compléter le script Scilab suivant pour qu'il calcule et affiche pour une valeur de entrée par 1'utilisateur.

n=input('entrez une valeur pour n :')
x=1 :n
u=------
disp(u)

b) Justifier que, pour tout entier naturel

non nul, on a :

.
c) Utiliser la question précédente pour montrer que, pour tout

, on a :

Dans cette question, désigne un réel élément de .
a) Pour tout de et pour tout de , simplifier la somme .
b) En déduire que, pour tout de , on a :

c) Montrer que

.
d) Établir alors que la série de terme général

est convergente et que :

On considère deux suites réelles et à termes positifs et on suppose que les séries de termes généraux et sont convergentes, de sommes respectives et .
Pour tout entier naturel non nul, on pose : .
a) Montrer que: .
b) En déduire que la série de terme général converge et que l'on a:

c) Soit

un réel élément de

. On suppose dans cette question que l'on a :

.
i) Justifier rapidement que les séries de termes généraux

sont convergentes et à termes positifs.
ii) Compléter le script Scilab suivant pour qu'il calcule et affiche la valeur de

pour une valeur de

entrée par l'utilisateur.

n=input('entrez une valeur pour n :')
x=input('entrez une valeur pour x :')
u=1:n
v=n-1:-1:0
a=-------
b=------
c=------
disp (c)

iii) Donner l'expression de

sous forme de somme.

Partie 2 : étude d'une fonction définie comme somme de série

Dans cette partie, on désigne toujours par

un réel de

.
4) a) Utiliser la première question du préliminaire pour établir que :

b) En déduire que :

.
5) a) Montrer que, pour tout réel

strictement positif, on a :

.
b) En déduire que la série de terme général

, avec

, est convergente.
6) On pose :

.
a) Établir, en utilisant le résultat de la question 1c), que :

.
b) Montrer finalement 1'équivalent suivant:

.
7) a) Étudier les variations de la fonction

.
b) Dresser le tableau de variations de

(valeur en 0 et limite en

comprises).
8) a) En remarquant que

, montrer que l'on a :

.
b) En déduire que

est continue à droite en 0 et dérivable à droite en 0 . Donner la valeur du nombre dérivé à droite en

.
c) On admet que

est continue sur

. Donner la nature de l'intégrale

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\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[version=4]{mhchem}
\usepackage{stmaryrd}
\usepackage{bbold}
\usepackage{mathrsfs}

\title{Conception : EDHEC BS }
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