J-0
00m
00j
00h
00min
00s

BCE Maths approfondies EDHEC ECS 2014

Epreuve de maths approfondies - ECS 2014

Notez ce sujet en cliquant sur l'étoile
0.0(0 votes)
Probabilités continuesProbabilités finies, discrètes et dénombrementAlgèbre linéaireRéductionIntégrales généraliséesFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)
RetourLire
Logo concours BCE - Voir tous les sujets BCE

Voir tous les sujets

Logo concours BCE
🔗 Explorer
Banque
BCE
Année
2014
Filière
ECS
Matière
Mathématiques
Annales BCE ECS MathématiquesBCE ECS 2014ECS MathématiquesMathématiques 2014

Téléchargements disponibles

Sujet et rapport

Télécharger le sujet →Rapport du jury → indisponible

Corrigés

Télécharger corrigé →

Lecture et formats

Lire en ligne →LaTeX →Word →

Description

Annale de maths approfondies BCE EDHEC pour la filiere ECS, session 2014.

Lecture web du sujet

Version HTML avec rendu des formules, intégrée sur la page canonique.

PDF
c81da949-8d17-401c-9a03-4a34a32d1e1f

CONCOURS D'ADMISSION DE 2014

Conception : ÉCOLE DE HAUTES ÉTUDES COMMERCIALES DU NORD

MATHÉMATIQUES

OPTION SCIENTIFIQUE

Mardi 6 mai 2014, de 8 h à 12 h.
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'it sera amené à prendre.

Exercice 1

On rappelle que la fonction (gamma) est la fonction, qui à tout réel strictement positif, associe . On admet que .
  1. On considère deux variables aléatoires et , définies sur un espace probabilisé ( ), indépendantes, et suivant toutes deux la loi normale centrée réduite.
    On pose et .
    a) Montrer que la loi commune à et est la loi .
    b) Donner l'espérance et la variance de et .
  2. On pose et on rappelle que est une variable aléatoire, définie, elle aussi, sur l'espace probabilisé ( ).
    a) Donner sans calcul la loi de ainsi que son espérance et sa variance.
    b) On admet que, si et sont respectivement des densités de et , alors, une densité de est la fonction , nulle sur ] , et définie sur par : .
Justifier, sans calculer l'intégrale précédente, que :
c) Pour tout réel strictement positif, on pose .
Déduire des questions précédentes que l'intégrale converge et donner sa valeur.

Exercice 2

Soit un entier naturel supérieur ou égal à 2 .
Si désigne une matrice de , on désigne par la trace de la matrice , c'est-à-dire la somme de ses éléments diagonaux.
On admet que l'application trace est une forme linéaire de .
Soit une matrice non nulle donnée de . On considère l'application qui à toute matrice de associe :
  1. Montrer que est un endomorphisme de .
  2. Montrer que n'est pas l'endomorphisme nul (on pourra distinguer les cas et ).
  3. a) Établir que, pour toute matrice de , on a : .
    b) Donner les valeurs propres possibles de .
  4. Montrer que 0 est valeur propre de .
  5. Montrer que, si , alors n'est pas diagonalisable.
  6. On suppose dans cette question que la trace de est non nulle.
    a) Quelle est la dimension de ?
    b) Conclure que est diagonalisable.

Exercice 3

Le but de cet exercice est de prouver l'existence et de donner la valeur (par deux méthodes différentes) de :

Partie 1 : méthode utilisant un produit scalaire

Soit l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels, de degré inférieur ou égal à 3 et le sous-espace vectoriel de engendré par les deux polynômes 1 et .
  1. a) Rappeler pourquoi, pour tout entier naturel , l'intégrale converge.
    b) Montrer que l'application de dans qui, à tout couple ( ) d'éléments de , associe est un produit scalaire sur , dont la norme associée sera notée .
  2. Soit un polynôme de défini par , où et sont deux réels. Donner, sous forme d'intégrale, l'expression de .
  3. a) Énoncer le théorème qui assure l'existence et l'unicité du polynôme de qui rend minimale.
    b) En déduire sans calcul les valeurs de et .
    c) En notant , écrire le système que doit vérifier le couple ( ) pour que soit minimale.
    d) Déterminer la valeur de .

Partie 2 : méthode utilisant une fonction de deux variables

On note la fonction définie sur , par :
  1. Écrire comme une fonction polynomiale des deux variables et .
  2. Déterminer le seul point critique ( ) de sur .
  3. Montrer que admet en un minimum local que l'on calculera.
  4. Établir que ce minimum est global.

Problème

Question préliminaire

  1. Soit un réel quelconque.
    a) Justifier que la fonction est continue sur .
On considère maintenant l'intégrale .
b) Montrer que : .
Dans la suite de ce problème, on considère une variable aléatoire définie sur un certain espace probabilisé ( ), que l'on ne cherchera pas à déterminer. On admet que l'on définit une variable aléatoire , elle aussi définie sur , en posant, pour tout de :
On se propose dans les deux parties suivantes de déterminer la loi de connaissant celle de .

Partie 1 : étude de plusieurs cas où est discrète

  1. Vérifier que si suit une loi géométrique alors on a : .
  2. On suppose, dans cette question, que et que l'on a:
a) Déterminer la valeur de .
b) Vérifier que puis donner la loi de , ainsi que son espérance et sa variance.
c) Compléter la déclaration de fonction suivante pour qu'elle simule la variable aléatoire .
Function y : real ;
Var u : integer ;
Begin
u:=random(4);
If ------ then ------ else y:= ------ ;
End ;
  1. On suppose, dans cette question, que suit la loi de Poisson de paramètre (où est un réel strictement positif).
    a) Vérifier que puis donner la loi de .
    b) En déduire l'espérance et la variance de .

Partie 2 : étude de plusieurs cas où est à densité

On note, sauf indication contraire, respectivement et les fonctions de répartition de et .
5) On suppose, dans cette question, que suit la loi uniforme sur , avec .
a) Vérifier, en utilisant la première question, que l'on a : .
b) En déduire .
c) Montrer alors que, pour tout de , on a : .
d) Expliquer pourquoi est une variable à densité.
e) Donner la valeur de .
f) Compléter la déclaration de fonction suivante pour qu'elle simule la variable aléatoire .
Function : real ;
Begin : =------ ; End ;
6) On suppose, dans cette question, que suit la loi exponentielle de paramètre (où est un réel strictement positif).
a) Toujours en utilisant la première question, exprimer en fonction de .
b) Donner sans calcul l'espérance et la variance de .
c) Soit une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur . Vérifier que la variable aléatoire suit la loi exponentielle de paramètre , puis compléter la déclaration de fonction suivante pour qu'elle simule la variable aléatoire .
Function (lambda : real) : real ;
Begin : = __-_-- ;
End ;
7) On suppose, dans cette question, que suit la loi normale centrée réduite. On rappelle que et on note la fonction de répartition de .
a) Vérifier que .
b) Donner la valeur de .
c) Utiliser la formule des probabilités totales associée au système complet d'événements ( ) pour établir l'égalité suivante :
d) La variable aléatoire est-elle à densité ? Est-elle discrète ?
e) Soit des variables indépendantes suivant toutes la loi uniforme sur . Expliquer pourquoi on peut approcher la loi de la variable aléatoire par la loi normale centrée réduite, puis compléter la déclaration de fonction suivante pour qu'elle simule .
Function y(lambda : real): real;
Var k : integer ; aux : real ;
Begin
aux : = 0 ;
For k:=1 to 48 do aux := aux + random ;
x:=(aux-24)/2;
If _----- then y:= _----- else
    If \----- then y:= ------ else y:= ------;
End;

Pas de description pour le moment