La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document ; seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.

Exercice 1

désignant un polynôme de

tel que

, on rappelle que, pour toute matrice

, où

désigne la matrice unité de

.
On admet que si

sont deux polynômes de

et si

est une matrice de

, alors :

.
On se propose de déterminer explicitement le termc général de la suite (

) définie par :

et la relation, valable pour tout

.
Pour ce faire, on pose, pour tout

a. Écrire la matrice de , indépendante de , telle que: .
b. Vérifier que .
On considère le polynôme de défini par .
a. Justifier l'existence et l'unicité d'un couple ( ) de , tel que : .
b. Montrer que pour tout entier naturel , il existe des rócls et tels que :
.
c. Établir que: et .
a. Utiliser la question précédente pour écrire, pour tout de comme combinaison linéaire de et .
b. Pour tout de donner la troisième ligne de la matrice .
a. Montrer que: .
b. En déduire, pour tout de en fonction de .

Exercice 2

Soit

un entier naturel et

une fonction continue, strictement positive, décroissante sur

et telle que

converge.
Pour tout entier naturel

supéricur ou égal à

, on pose

a. Utiliser la décroissance de pour montrer que, pour tout entier naturel supérieur ou égal à , on a: .
b. En déduire que la série de terme général est convergente.

On pose désormais, pour tout entier naturel

supérieur ou égal à

.
2) a. Montrer que, pour tout entier naturel

supéricur ou égal à

, on a :

b. En déduire une condition suffisante portant sur

pour que :

Dans cette question, pour tout réel de , on pose .
a. Montrer que cette fonction vérifie les quatre hypothèses de l'énoncé ainsi que la condition trouvée à la question 2b).
b. En déduire un équivalent, lorsque est au voisinage de , de .
c. La série de terme général est-elle convergente ?

Exercice 3

Pour toute matrice

, on note

la matrice transposée de

la trace de

, c'est-à-dire la somme des éléments diagonaux de

.
On note

la matrice unité de

et on considère la matrice

, élément de

. définie par

.
A tout couple

, on associe le réel

Montrer que l'on définit ainsi un produit scalaire sur .

Dans toute la suite, on se place dans l'espace euclidien

muni de ce produit scalaire.
2) Montrer que (

) est une famille orthogonale.
3) On note

le sous-espace vectoriel de

engendré par (

).
a. Déterminer une base orthonommale de

, notée (

) telle que, pour tout

soit proportionnelle à

(avec bien sûr

).
b. Soit

une matrice quelconque de

dont le terme situé à l'intersection de la

è

ligne et de la

ème colonne est noté

.
Pour tout

, déterminer <

> en fonction de certains des éléments de

.
c. On note

la projection orthogonale sur

. Exprimer

en fonction de

et de certains éléments de

.
d. En déduire une base de

Problème

Partie 1

Dans cette partie.

désigne un entier naturel et

désigne un réel de

Pour tout entier naturel non nul, calculer la dérivée $è$ de la fonction ,
définic sur ]0.1[. par: .
Montrer que, lorsque est au voisinage de .
Montrer que .
Soit la fonction définie sur par .

Montrer que :

.
5) a. Écrire la formule de Taylor entre 0 et

avec reste intégral pour la fonction

à l'ordre

.
b. En déduire que :

.
c. Montrer finalement que :

Partie 2

Dans cette partie,

désigne un entier naturel non nul.
On effectue une suite d'épreuves de Bernoulli indépendantes telles que pour chacune d'entre elles, la probabilité de succès soit égale à

, avec

.
On note

le nombre d'épreuves qu'il faut réaliser pour obtenir, pour la première fois

succès, pas forcément consécutifs (

est donc le numéro de l'épreuve où l'on obtient le

succès). On convient que

si l'on n'obtient pas

succès.

Dans cette question sculement, on considère le cas .
a. Reconnaitre la loi de .
b. Donner l'espérance et la variance de .

Dans toute la suite, on suppose que

.
2) a. Déterminer

.
b. Pour tout entier naturel

, calculer la probabilité que l'on obtienne

succès au cours des

premières épreuves.
c. Déduire de la question précédente que :

.
d. Utiliser le résultat de la partie 1 pour vérifier que

En déduire

.
On dit que

suit la loi binomiale négative de paramètres

.
3) a. Montrer que:

.
b. En utilisant le fait que. pour tout entier naturel

, montrer que

possède une espérance et donner sa valeur en fonction de

.
4) a. Montrer que:

.
b. Utiliser le théorème de transfert pour montrer que, pour tout entier naturel

supérieur ou égal à 2.

possède une espérance et que

.
5) a. Justifier que

possède une espérance (on n'en demande pas le calcul).
b. Montrer, sans calculer

, que

.
6) Dans cette question, on suppose que le paramètre

est inconnu.

Pour tout

, on pose :

.
Des deux suites

, laquelle est un estimateur sans biais de

? On ne se préoccupera pas de l'éventuelle convergence de ces estimateurs.

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