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BCE Maths appliquees HEC ECE 2018

Epreuve de maths appliquees - ECE 2018

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Algèbre linéaireProbabilités finies, discrètes et dénombrementProbabilités continuesStatistiquesInformatiqueIntégrales généralisées
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BCE
Année
2018
Filière
ECE
Matière
Mathématiques
Annales BCE ECE MathématiquesBCE ECE 2018ECE MathématiquesMathématiques 2018

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Description

Annale de maths appliquees BCE HEC pour la filiere ECE, session 2018.

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Version HTML avec rendu des formules, intégrée sur la page canonique.

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Conception : HEC Paris

OPTION ÉCONOMIQUE

MATHEMATIQUES

Lundi 30 avril 2018, de 14 h. à 18 h.
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Aucun document n'est autorisé. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

EXERCICE

Soit un entier supérieur ou égal à 2 et un endomorphisme de .
  • On note l'endomorphisme identité de et l'endomorphisme nul de .
  • On pose : et .
  • On suppose que est l'endomorphisme nul de .
  1. Soit la matrice définie par : .
    a) Déterminer le spectre de . La matrice est-elle diagonalisable?
    b) Préciser le rang des matrices et respectivement.
    c) Quels sont les polynômes annulateurs de dont le degré est égal à 3 ?
  2. Pour tout , on note l'image de l'endomorphisme et son rang : et . Pour tout , on note la restriction de à , c'est-à-dire l'application linéaire de dans définie par: .
    a) Calculer et .
    b) Soit .
    (i) Déterminer le rang de .
    (ii) Justifier l'égalité : .
    c) Établir les inégalités : .
On rappelle que le cardinal d'un ensemble fini , noté Card , est le nombre de ses éléments.
Pour tout , on note l'ensemble des -uplets d'entiers naturels tels que , c'est-à-dire: . On pose: .
3. Pour tout , on pose :
a) Montrer que est un élément de .
b) Dans cette question, on suppose que est égal à 4 .
(i) Déterminer lorsque est l'endomorphisme de matrice dans la base canonique de .
(ii) Trouver l'ensemble et vérifier que .
(iii) Montrer que pour tout , il existe un endomorphisme de vérifiant ( ).
4. Pour tout couple , on pose : et .
a) Soit .
(i) Trouver l'ensemble .
(ii) Pour tout entier , justifier l'égalité : .
b) Pour tout couple ( ) d'entiers tels que , établir la relation :
c) Soit un entier supérieur ou égal à 2 .
(i) Pour tout entier , montrer l'égalité : .
(ii) Que vaut ?
5. La fonction Scilab suivante dont le script est incomplet (lignes (5) et (6)), calcule une matrice qmatrix (n) telle que pour chaque couple , le coefficient situé à lintersection de la ligne et de la colonne est égal à .
function q=qmatrix(n)
    q=ones(n,n);
        for L=2 : n
            for K=2 : n
                if (K<L) then q(L,K)=-C......;
                    else if (K==L) then }q(L,K)=.......
                        else q(L,K)=q(L-1,K)+q(L,K-L);end;
                end ;
            end ;
        end;
endfunction
L'application de la fonction qmatrix à l'entier fournit la sortie suivante :
--t qmatrix(9)

\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|l|l|l|}
\hline 1. & 1. & 1. & 1. & 1. & 1. & 1. & 1. & 1. \\
\hline 1. & 2. & 2. & 3. & 3. & 4. & 4. & 5. & 5. \\
\hline 1. & 2. & 3. & 4. & 5. & 7. & 8. & 10. & 12. \\
\hline 1. & 2. & 3. & 5. & 6. & 9. & 11. & 15. & 18. \\
\hline 1. & 2. & 3. & 5. & 7. & 10. & 13. & 18. & 23. \\
\hline 1. & 2. & 3. & 5. & 7. & 11. & 14. & 20. & 26. \\
\hline 1. & 2. & 3. & 5. & 7. & 11. & 15. & 21. & 28. \\
\hline 1. & 2. & 3. & 5. & 7. & 11. & 15. & 22. & 29. \\
\hline 1. & 2. & 3. & 5. & 7. & 11. & 15. & 22. & 30. \\
\hline
\end{tabular}
a) Compléter les lignes (5) et (6) du script de la fonction qmatrix.
b) Donner un script Scilab permettant de calculer à partir d'une valeur de entrée au clavier.
c) Conjecturer une formule générale pour applicable à tout entier , puis, la démontrer.

PROBLEME

Dans tout le problème:

  • toutes les variables aléatoires introduites sont supposées définies sur un même espace probabilisé ( );
  • on note un entier supérieur ou égal à 2 .
L'objet du problème est l'étude de sommes de variables aléatoires suivant une loi de Bernoulli de même paramètre mais qui ne sont pas nécessairement indépendantes.
Les parties II et III sont indépendantes de la partie I.

Partie I. Valeurs possibles du coefficient de corrélation linéaire dans divers schémas de Bernoulli

Dans cette partie, on considère des variables aléatoires suivant chacune la même loi de Bernoulli de paramètre avec , e'est-à-dire: et .
On suppose que pour tout couple avec , le coefficient de corrélation linéaire des variables aléatoires et est le même; on noter ce coefficient. On a donc:
1.a) Dans les deux cas (i) et (ii) suivants, calculer la valeur de et exprimer la variance de la variable aléatoire en fonction de et .
(i) Les variables aléatoires sont mutuellement indépendantes.
(ii) Les variables aléatoires sont toutes égales.
De plus, préciser la loi de dans chacun des deux cas précédents.
b) Montrer que pour tout , la variance de la variable aléatoire est donnée par la formule:
c) En déduire que le coefficient est au moins égal à .
2. On suppose dans cette question que est égal à 2.
a) Montrer que est égal à -1 si et seulement si on a : .
b) Que vaut alors ?
c) En déduire que ne peut être égal à -1 que lorsque et .
3. On suppose dans cette question que est supérieur ou égal à 3 et que .
a) Exprimer les valeurs de et en fonction de .
b) Déterminer les -uplets pour lesquels la probabilité est strictement positive et la calculer.

Partie II. Lois bêta-binomiales

  1. Soit .
    a) Justifier que l'intégrale est convergente si et seulement si .
    b) Pour tout réel tel que , établir à l'aide d'un changement de variable affine, l'égalité :
c) En déduire que l'intégrale est convergente si et seulement si et .
Dans toute la suite du problème, on pose: .
5. Soit et des réels strictement positifs.
a) À l'aide d'une intégration par parties, établir la relation : .
b) En déduire l'égalité : .
6. Pour tout réel , soit la suite définie par : et . (par exemple, pour tout , on a : )
Établir pour tout et pour tout couple d'entiers tels que , la relation :
  1. Soit et des réels strictement positifs.
Pour tout , on pose : .
a) À l'aide de la relation obtenue dans la question 6 , montrer que .
On dit qu'une variable aléatoire suit la loi bêta-binomiale si et si :
b) Reconnaître la loi .
c) Montrer que l'espérance d'une variable aléatoire qui suit la loi est égale à .

Partie III. Un modèle possible dans le cas où

Soit et des réels strictement positifs et et deux variables aléatoires à valeurs dans telles que:
8.a) Montrer que les deux variables aléatoires et suivent la même loi de Bernoulli.
b) Montrer que la variable aléatoire suit la loi bêta-binomiale .
c) Établir la relation : .
9. La fonction Scilab suivante dont le script est incomplet (lignes (5) et (6)), effectue une simulation des deux variables aléatoires et qu'elle place dans un vecteur ligne à deux composantes.
(1) function randbetabin
(2) ;
(3) ;
(4) ;
(5) if then ; if then ; end ;
(6) else if ........ then ; end ;
(7) end ;
(8) endfunction
a) Préciser la loi simulée par la variable u de la ligne (3).
b) Compléter les lignes (5) et (6).
10.a) Calculer le coefficient de corrélation linéaire de et .
b) Soit un couple de réels vérifiant et .
Expliquer comment utiliser la fonction randbetabin pour simuler deux variables aléatoires suivant une même loi de Bernoulli de paramètre et dont le coefficient de corrélation linéaire est égal à .
FIN

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