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BCE Maths appliquees ESSEC ECE 2017

Epreuve de maths appliquees - ECE 2017

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Probabilités continuesProbabilités finies, discrètes et dénombrementStatistiquesIntégrales généraliséesInformatique
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BCE
Année
2017
Filière
ECE
Matière
Mathématiques
Annales BCE ECE MathématiquesBCE ECE 2017ECE MathématiquesMathématiques 2017

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Annale de maths appliquees BCE ESSEC pour la filiere ECE, session 2017.

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Concours d'admission de 2017
Conception : ESSEC

OPTION Economique

MATHÉMATIQUES

Jeudi 4 mai 2017 , de 8 h. à 12 h.
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage d'aucun document. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.
Est-il possible que le marketing digital pose des problèmes de sécurité des données personnelles? De récents travaux , mettant en cause les outils de mesure de performance en temps réel des différentes campagnes de publicité sur internet, démontrent que certaines données très sensibles (préférences religieuses, sexuelles, etc.) peuvent être obtenues par des segmentations précises des audiences et sans aucune action de la part de l'utilisateur.
Dans ce problème, nous nous intéressons à une méthode proposée pour protéger ces données, méthode baptisée confidentialité différentielle.
Les parties I et II sont totalement indépendantes. Vous trouverez une aide Scilab en fin de sujet.
On considère un espace probabilisé ( ) sur lequel sont définies les variables aléatoires qui apparaissent dans l'énoncé.

Partie I - Lois de Laplace - propriétés et simulation

Soit et . On dit qu'une variable aléatoire réelle a densité suit une loi de Laplace de paramètre , notée , si elle admet comme densité la fonction donnée par :
  1. Vérifier que est bien une densité de probabilité d'une variable aléatoire réelle.
  2. Déterminer la fonction de répartition, notée , de la loi .
  3. On suppose que suit la loi .
    (a) Montrer que suit la loi .
    (b) En déduire la fonction de répartition de la loi .
  4. Espérance et variance.
    (a) On suppose que suit la loi .
Montrer que et existent et valent respectivement 0 et 2.
(b) En déduire l'existence et les valeurs de l'espérance et de la variance d'une variable aléatoire réelle qui suit la loi .
5. Simulation à partir d'une loż exponentielle. Soit une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre 1 et une variable aléatoire qui suît la loi de Bernoulli de paramètre et indépendante de .
(a) En utilisant le système complet naturellement associé à , montrer que suit la loi .
(b) Compléter la définition Scilab ci-dessous pour que la fonction ainsi définie réalise la simulation d'une variable aléatore qui suit la loi :
function r = Laplace (alpha,beta)
if ...<= 1/2
    V =1
else
    V = 0
end
X=(2*V-1)*grand(1,1, "exp", 1)
r = ...
endfunction

Partie II - Lois -différentielles

Soit . On dit que , un couple de variables aléatoires, est un couple -différentiel si, pour tout intervalle de :
Intuitivement, les lois de et seront d'autant plus proches que le plus petit tel que soit un couple -différentiel est proche de 0 .
6. Soit un triplet de variables aléatoires réelles.
(a) Montrer que si est -différentiel alors l'est aussi.
(b) Montrer que si est -différentiel et est -différentiel alors est -différentiel.
7. Soit un couple de variables aléatoires réelles discrètes. On suppose que où est un sous ensemble non vide de .
Montrer que ( ) est -differentiel si et seulement si
  1. Premier exemple.
Dans cette question, on suppose que suit la loi géométrique de paramètre suit la loi de Bernoulli de paramètre et elles sont indépendantes. On pose .
(a) Déterminer la loi de .
(b) Établir que pour tout .
(c) En déduire que est -différentiel.
(d) Que se passe-t-il lorsque s'approche de 0 ou lorsqu'il s'approche de 1 ? Était-ce prévisible?
9. On suppose que et sont deux variables à densité de densités respectives et et de fonction de répartition et .
(a) On suppose que pour tout .
Montrer que est -différentiel.
(b) On suppose dans la suite de cette question que est -différentiel.
Soit et où et sont continues.
Montrer que :
En conclure que : .
10. Deuxième exemple : lois de Cauchy.
(a) Montrer que converge. On admet que cette intégrale est égale à .
(b) On définit, pour , la fonction sur par, pour tout .
Montrer que est une densité de probabilité d'une variable aléatoire à densité.
(c) On suppose que et sont deux variables aléatoires admettant comme densités repectives et avec .
Montrer que est -différentiel.
11. Une première interprétation.
On suppose que est un couple -différentiel et que est une variable de Bernoulli de paramètre indépendante de et .
On définit la variable aléatoire par :
(a) Soit un intervalle de telle que .
Montrer que : .
En déduire que :
(b) Si est proche de zéro, le fait de disposer d'une information sur la valeur de change-t-il notablement le paramètre de la loi de et par conséquent la probabilité d'en déduire la valeur prise par U?

Partie III - Confidentialité différentielle

  • Soit . On considère et un entier naturel plus grand que 2 .
  • On dira que deux éléments de et , sont voisins si ils ne différent que d'une composante au plus. On note l'ensemble des couples de voisins.
  • On considère une application de dans .
Concrètement, un élément de représente une table d'une base de donnée et q une requête sur cette base. Étant donné , on s'intéresse au problème de la confidentialité de certains des lorsque les autres sont connus, ainsi que et .
12. Dans cette question on suppose que sont connus et on cherche à protéger .
(a) Quelle est probabilité d'obtenir la bonne valeur de si lon choisit une valeur au hasard daus ?
(b) Dans cette question .
Montrer que si est publique alors on sait déterminer la valeur de .
On dit que l'on dispose d'un procédé de -confidentialite de pour si :
(c1) pour tout , on dispose d'une variable aléatoire réelle ;
(c2) pour tout est -différentiel.
(c3) pour tout .
13. Majoration de la probabilité de trouver a1.
Dans cette question, nous allons justifier en partie la terminologie. On suppose à nouveau que sont connus, que l'on cherche à protéger et que :
  • Le public connaît des "intervalles disjoints de réunion tels qu'avec les valeurs fixées de , si alors . Cela signifie que si est publique alors aussi.
  • On dispose d'un procédé de -confidentialité de pour et que on rend publique à la place de .
On considère alors que l'expérience aléatolie modélisée par ( ) comporte comme première étape le choix au hasard de dans et on définit :
  • la variable aléatoire associée à ce choix ;
  • pour tout . On suppose que et sont indépendantes pour tout .
  • la variable aléatoire réelle par :
    , si alors on détermine l'unique tel que et on pose .
  • .
    (a) Montrer que .
    (b) En déduìre que .
    (c) En conclure que :
(d) On pose et .
Donner une majoration de . Que représente cette quantité?
Qu'en déduire concernant la méthode de confidentialité présentée dans cette question lorsque e est proche de 0 ?
On pose et on suppose que .
14. Dans cette question, pour tout , on pose où suit la loi de Laplace de paramètre .
(a) Pour tout , déterminer et une densité de probabilité de la loi de en fonction de et de .
(b) Montrer que pour tout et .
En deduire que pour tout est -différentiel.
(c) Comment choisir pour disposer alors d'un procédé de -confidentialité de pour ?
15. Dans cette question, pour tout appartenant à .
(a) Quelle est la valeur de ?
On utilise dans la suite le procédé de -confidentialité tel qu'il a été défini dans la question 14 mais au lieu de publier la valeur , on procède ansi :
  • si on publie 0;
  • si où , on publie ;
  • sinon on publie nd.
    (b) Montrer que la valeur aléatoire publiée vérifie :
(c) Écrire un script qui pour et saisis par l'utilisateur, génère une valeur aléatoire de puis affiche et .
(d) Pour et choisi par l'utilisateur, ecrire un script qui estime la valeur moyenne de (on considèrera que est toujours non nul).
N.B. À titre d'information, on obtient le tableau de valeurs suivant :
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2
Moyenne
Aide Scilab. La fonction Scilab grand permet de simuler, en particulier, les lois exponentielles et uniformes discretes. Par exemple :
  • grand , "exp", 0.5 renvoie une matrice aléatoire dont les coefficients sont des variables indépendantes qui suivent la loi exponentielle d'espérance 0,5 .
  • grand ( 1,2, "uin", ) renvoie une matrice aléatoire ( 1,2 ) dont les coefficients sont des variables indépendantes qui suivent la loi uniforme discrète sur .
    1. Par exemple, A. Korolova. Privacy violations using microtargeted ads : A case study (2010)

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