La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.
Exercice 1 : probabilités discrètes
Deux personnes et ont rendez-vous dans un complexe formé de cinq sites disposés en pentagone et reliés par des routes, comme l'illustre le schéma ci-contre.
Ils arrivent au rendez-vous à l'heure prévue, mais suite à un malentendu, se présente au site et au site .
Ils décident alors de partir à la recherche l'un de l'autre. Ils empruntent les différentes routes du complexe, avec les règles suivantes :
à partir d'un site, chacun choisit de se rendre sur l'un des deux sites voisins, les deux possibilités étant équiprobables ;
les déplacements des deux personnes se font simultanément;
tous les choix de déplacement se font indépendamment les uns des autres.
Ils continuent à se déplacer ainsi jusqu'à se retrouver éventuellement sur un même site (ils ne se rencontrent pas le long des routes). Une fois retrouvés, ils ne se déplacent plus.
A. Modélisation du problème
Pour tout entier naturel , on définit les trois événements :
: «les deux personnes sont sur le même site après le déplacement»
: «les deux personnes sont sur des sites adjacents après le déplacement»
: «les deux personnes sont à deux routes de distance après le déplacement»
On note les probabilités des événements .
Justifier que forment un système complet d'événements.
Déterminer les valeurs de et .
(a) Montrer : .
(b) Justifier : .
(c) Déterminer toutes les probabilités conditionnelles analogues.
On représentera les résultats en reproduisant et complétant le schéma suivant :
4. Établir les relations suivantes, pour tout entier
5. (a) Déterminer une relation entre et .
(b) En déduire une expression de en fonction de .
On fera intervenir les nombres et .
(c) Montrer que pour tout .
6. (a) Exprimer en fonction de et .
On pourra s'intéresser à la somme .
(b) Déterminer la limite de la suite .
(c) Quelle est la probabilité que les deux personnes ne se retrouvent jamais?
B. Nombre de déplacements avant rencontre
On définit la variable aléatoire X égale au nombre de déplacements effectués par chacune des personnes avant leur rencontre sur un même site.
Déterminer , l'ensemble des valeurs prises par X .
Soit , montrer :
Calculer l'espérance de X .
Calculer la variance et l'écart-type de X.
Exercice 2 : probabilités et analyse
Dans certaines situations (paris sportifs, investissements financiers...), on est amené à miser de l'argent de façon répétée sur des paris à espérance favorable. On se propose de mettre en place une stratégie afin d'optimiser les gains à long terme.
On adopte ici le cadre simplifié suivant : on considère une suite de variables aléatoires indépendantes et suivant toutes la même loi de Bernoulli de paramètre .
Un joueur mise une partie de son capital sur la réalisation de l'événement ( ), pour chaque . La variable est supposée indépendante des variables .
En cas de victoire, il double sa mise (son capital est donc augmenté de ), en cas de défaite il perd sa mise (son capital diminue de ).
Initialement, le joueur dispose du capital , puis on note la variable aléatoire égale au capital détenu à l'issue du pari.
On a ainsi l'encadrement : pour tout entier .
Le jeu est supposé favorable, on considérera dans tout le problème : .
I. Quitte ou double
Déterminer deux réels et vérifiant : .
Établir :
En déduire que pour maximiser , il faut miser tout son capital à chaque pari.
3. Montrer que cette stratégie, dite du "quitte ou double", conduit de façon quasi-certaine à la ruine du joueur, et déterminer le nombre moyen de parties conduisant à la ruine (on parle de ruine s'il existe un entier naturel pour lequel ).
II. Stratégie à mises proportionnelles
La stratégie précédente étant risquée, le joueur décide d'engager dans chaque pari une fraction du capital dont il dispose : on a ainsi , avec indépendant de .
Établir : .
On pose .
Que représente la variable aléatoire ?
Déterminer la loi de et son espérance.
3. Établir : .
4. Montrer que :
Par la suite, on cherche à maximiser cette quantité, ce qui équivaut à maximiser l'espérance du taux moyen de croissance du capital.
III. Optimisation : le critère de Kelly
On pose, pour tout .
Étude de .
(a) Étudier les variations de sur 10,1 [, et montrer que est concave.
Montrer que admet un maximum sur , atteint en un unique réel que l'on exprimera en fonction de .
(b) Déterminer la limite de en 1 et interpréter le résultat.
(c) Montrer que s'annule deux fois exactement sur [ 0,1 [ : en 0 et en un réel vérifiant .
(d) Donner l'allure de la courbe représentative de sur .
2. Conclusion : le choix est celui qui optimise la croissance de gain à long terme. Que donnerait l'expression de dans les cas limites et ? Interpréter ces deux résultats.
IV. Étude de la valeur critique
Les choix de au-delà de la valeur critique conduisent à une perte de capital. On cherche dans cette partie un équivalent de lorsque est proche de .
On considèrera dans ce qui suit que est une fonction de (on écrira ainsi ).
On définit la fonction sur .
(a) Montrer que est prolongeable par continuité sur l'intervalle .
On notera encore ce prolongement.
(b) Justifier que φ est dérivable sur ]0,1[, et mettre l'expression de sa dérivée sous la forme
(c) Déterminer les variations de sur .
(d) Montrer que réalise une bijection de sur un intervalle à préciser.
2. Montrer que est dérivable en 0 et que .
On commencera par donner le développement limité en 1 à l'ordre 2 de la fonction .
3. (a) Établir : .
(b) En déduire que est prolongeable par continuité en , que ce prolongement est dérivable en et que :
(c) Établir l'équivalence, au voisinage de :
Conclusion : pour des valeurs de proches de (c'est-à-dire des paris "légèrement" favorables, un cas très fréquent), il faut prendre .
Par sécurité ( n'est en pratique connu qu'approximativement), les parieurs choisissent souvent , la moitié de la valeur de Kelly.
V. Simulation informatique
Le programme kelly1 qui suit, écrit en language Pascal, permet d'illustrer ce qui précède :
le capital initial est fixé à 100 ;
en entrée, le programme demande la valeur de , la valeur de à utiliser et le capital que l'on souhaite atteindre;
en sortie, le programme renvoie le nombre de parties jouées pour atteindre l'objectif demandé.
program kellyl;
var n : integer;
cap,cap_obj,u,p,alpha : real;
begin
writeln('valeur_de_p_:');read(p);
writeln('objectif_à_atteindre_:');read(cap_obj);
writeln('valeur_de_alpha_:');read(alpha);
cap:=100;
n:=0;
randomize;
while ********** do
begin .
u:=random;
if u<p then
begin
**********
end
else
begin
**********
end;
**********
end;
writeln('nombre_de_parties_jouées_:',n);
writeln('capital_atteint_:',cap)
end.
Compléter les quatre lignes d'instructions manquantes.
Afin de vérifier que la stratégie de Kelly est optimale, on modifie le programme kelly1 de la façon suivante :
les entrées restent les mêmes;
le nouveau programme calcule la valeur de Kelly ;
en sortie, le nouveau programme renvoie, en plus du nombre de parties jouées pour atteindre l'objectif demandé, le capital que l'on aurait obtenu si on avait choisi la valeur à la place de pendant ces mêmes parties.
Écrire le programme kelly 2 qui réalise ces modifications, uniquement en insérant des nouvelles instructions au programme kelly1.
