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BCE Maths appliquees ESSEC ECE 2015

Epreuve de maths appliquees - ECE 2015

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Probabilités continuesSuites et séries de fonctionsFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Intégrales généraliséesStatistiques
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BCE
Année
2015
Filière
ECE
Matière
Mathématiques
Annales BCE ECE MathématiquesBCE ECE 2015ECE MathématiquesMathématiques 2015

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Description

Annale de maths appliquees BCE ESSEC pour la filiere ECE, session 2015.

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Concours d'admission de 2015
Conception : ESSEC

OPTION Economique

MATHÉMATIQUES II

Mercredi 6 mai 2015 , de 8 h. à 12 h.
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des coples.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite, Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énonce, Il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.
L'étude des propriétés asymptotiques des lois de probabilités est importante pour modéliser la façon dont une expérience aléatoire a une tendance plus ou moins forte à donner des résultats numériquement grands. Dans la première partie, on introduit un outil d'analyse asymptotique. Dans la deuxième, on étudie un type de loi spécifique et dans la troisième des conditions plus simples pour vérifier que des propriétés asymptotiques sont satisfaites. Les trois parties sont largement indépendantes. De plus, dans les deux dernières parties, on n'utilise de la partie I que les résultats des questions 5.(f) iii) et 5.(g), qu'on pourra admettre si besoin. Dans tout l'énoncé, "positif" signifie "positif ou nul" sauf indication contraire.

I Limite inférieure d'une suite et d'une fonction

Si et sont deux entiers tels que , on notera l'intervalle d'entiers d'extrémités et .
Pour suite de réels et ensemble fini d'entiers naturels, on notera le plus petit élément de
l'ensemble . Par exemple, .
  1. Un exemple : déterminer .
  2. Soit une suite de réels positifs.
    (a) Pour entier naturel fixé, on pose pour tout de .
Montrer que la suite est décroissante.
(b) En déduire que la suite est convergente. On note .
(c) Établir une inégalité entre les réels et et en déduire que la suite est croissante.
(d) En déduire que la suite admet une limite (qui peut être ). Cette limite est dite limite inférieure de la suite et est notée .
3) Soient les deux suites réelles positives et définies par
et
(a) Expliciter pour positif ou nul et supérieur ou égal à 1 les termes associés à chacune des deux suites et .
(b) Déterminer et .
4)
(a) On suppose ici que est une suite croissante de réels positifs. Comparer et et en déduire que si converge en croissant vers un réel alors
(b) Montrer que si est une suite décroissante de réels positifs, convergente vers un réel , alors .
(c)
i) Soient des réels donnés et soit un intervalle ouvert de . On suppose que pour tout tel que , appartient à . Montrer que .
ii) Démontrer que si est une suite de réels positifs convergente vers réel positif, on a .
5) Soit une fonction continue sur à valeurs dans .
(a) Pour réel positif fixé, on définit la fonction sur par
Montrer que la fonction est décroissante sur .
(b) En déduire que a une limite dans quand tend vers . On note cette limite.
(c) Montrer que la fonction est croissante sur .
(d) En déduire que la limite existe (noter qu'elle peut valoir ). On la nomme la limite inférieure de et elle est notée .
(e) Un exemple : soit la fonction continue sur définie par
àà
et telle que pour tout réel positif (on dit que est périodique de période 2 ).
i) Représenter graphiquement sur le segment .
ii) Que vaut pour positif et supéricur ou égal à 2 .
iii) En déduire puis .
(f) est de nouveau une fonction quelconque continue sur à valeurs dans , et on reprend les notations de 5(a) et 5(b).
i) Soit un réel positif. Montrer que pour tout réel positif, on a .
ii) En déduire l'inégalité
iii) On suppose que . Montrer qu'il existe deux réels et strictement positifs tels que pour tout supérieur ou égal à on a .
(g) Soient et deux fonctions continues de dans telles que pour tout positif, et où est un réel positif. Montrer que .

II Lois sous-exponentielles

Dans la suite du problème, toutes les variables aléatoires sont définies sur un espace probabilisé ( ). On notera comme d'habitude, sous réserve d'existence, et l'espérance et la variance d'une variable aléatoire réelle .
Si est une variable aléatoire réelle positive de fonction de répartition , on notera systématiquement la queue de la répartition définie par pour tout positif.
6) Soient et deux variables aléatoires indépendantes à valeurs dans . Pour tout entier naturel, on pose
Montrer que pour tout entier naturel,
Par analogie, on admettra que si et sont deux variables aléatoires réelles positives indépendantes, admettant respectivement les densités et continues sur et continues à droite en 0 , la variable admet une densité notée définie, pour positif, par
On notera la fonction de répartition de la variable aléatoire .
7) Soit un réel strictement positif et soient et deux variables aléatoires indépendantes de loi exponentielle de paramètre . On note une densité commune et leur fonction de répartition. On prendra pour tout positif ou nul, .
(a) Expliciter, pour positif, et .
(b) Calculer pour tout positif.
(c) En déduire pour tout positif.
(d) Montrer que
  1. Soit une variable aléatoire positive de fonction de répartition . On dit que la loi de est à support illimité à droite si pour tout positif, .
    Soient et deux variables aléatoires indépendantes positives, de même loi à support illimité à droite, de fonction de répartition commune .
    (a) Montrer que pour tout positif,
(b) Montrer que .
(c) Montrer que .
(d) En déduire que .
9) Soit une variable aléatoire positive de fonction de répartition . On suppose que la loi de est à support illimité à droite. On dit que cette loi est sous-exponentielle si
où, comme dans les notations précédentes, désigne la fonction de répartition de la somme des deux variables aléatoires réelles positives et indépendantes, de même loi et de fonction de répartition .
On considère alors deux variables aléatoires réelles positives indépendantes et de même loi sousexponentielle.
(a) Montrer que
(b) En déduire (en utilisant la question 8.c) que
(c) Démontrer l'égalité
(d) Conclure que
(e) Interpréter le résultat précédent.

III Problèmes de queues

Soit une densité de probabilité sur que l'on suppose nulle sur et continue sur et la fonction de répartition associée. On dit que la loi de probabilité définie par la densité possède une loi à queue lourde si pour tout strictement positif, l'intégrale est divergente, c'est-à-dire que pour tout réel ,
  1. Soit une variable aléatoire de densité . Montrer que si la loi de est à queue lourde, elle est à support illimité à droite.
  2. Étude de quelques lois particulières :
    (a) Une loi exponentielle est-elle à queue lourde?
    (b) Soit la fonction d'expression si positif ou nul et si est strictement négatif.
    i) Montrer que est une densité de probabilité.
    ii) Soit strictement positif. Justifier l'existence d'un réel positif tel que pour tout supérieur ou égal à on ait .
    iii) En déduire que la loi définie par est à queue lourde.
    (c) Soit une variable aléatoire de loi normale centrée réduite et la variable aléatoire définie par .
    i) Déterminer une densité de .
    ii) Soit strictement positif. Que vaut ?
    iii) En déduire qu'il existe un réel strictement positif tel que
iv) En déduire que la loi de est à queue lourde.
On désigne désormais par une variable aléatoire positive de loi à support illimité à droite et admettant une densité continue sur et continue à droite en 0 . On note la fonction de répartition associée. On pose alors et , pour positif.
12) Montrer que
  1. On suppose que .
    (a) Montrer qu'il existe deux réels et strictement positifs tels que pour tout supérieur ou égal à , ,
    (b) Soit tel que . Soit strictement positif donné. Montrer que
(c) Conclure que converge et que la loi de n'est pas à queue lourde.
14) On rappelle l'inégalité de Markov : si est une variable aléatoire positive admettant l'espérance , alors pour tout strictement positif, on a
On suppose maintenant que la loi de n'est pas à queue lourde.
(a) Montrer qu'il existe strictement positif tel que existe.
(b) Soit strictement positif. Montrer que .
(c) Montrer que .
La condition n'est pas forcément très agréable à vérifier pour prouver qu'une loi possède une queue lourde. De ce fait, on introduit une autre notion plus simple dont on va montrer qu'elle suffit à assurer cette propriété.
15) Soit une variable aléatoire positive de fonction de répartition . On dit que la loi de possède une queue longue si pour tout réel strictement positif, il existe un réel strictement positif tel que pour tout réel supéricur ou égal à , et tout réel appartenant à , on a
Dans la suite, désigne la fonction de répartition d'une variable aléatoire qui suit une telle loi.
(a) Montrer que pour tout de .
(b) En déduire que .
(c) Montrer que pour tout de ,
(d) Montrer que .
16) Soit la fonction de répartition d'une variable aléatoire de loi à queue longue.
(a) Soit strictement positif fixé.
i) Montrer qu'il existe positif tel que pour tout supéricur ou égal à et pour tout de , on a
Indication : On utilisera la définition de fonction de répartition d'une variable aléatoire qui suit une loi à queue longue donnée à la question précédente avec une valeur précise de que l'on explicitera.
ii) Montrer que pour tout entier naturel non nul , on a
iii) En déduire que
(b) Justifier que pour tout strictement positif, la fonction n'est pas bornée sur ,
(c) En raisonnant par l'absurde, montrer que .
(d) Conclure que toute loi à queue longue possède une queue lourde.

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