BCE Maths appliquees ESC ECE 2009
Epreuve de maths appliquees - ECE 2009
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Probabilités finies, discrètes et dénombrementProbabilités continuesStatistiquesAlgèbre linéaireFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Calcul différentiel et fonctions à plusieurs variables
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Description
Annale de maths appliquees BCE ESC pour la filiere ECE, session 2009.
Lecture web du sujet
Version HTML avec rendu des formules, intégrée sur la page canonique.
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EPREUVE ESC
Conception : E.S.C. CHAMBERY
ESC__MATE
MATHEMATIQUES
OPTION ECONOMIQUE
Mardi 12 mai 2009, de 14 h. à 18 h.
N.B.
Il n'est fait usage d'aucun document; l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
EXERCICE 1
On considère les matrices
- (a) Calculer les valeurs propres de la matrice
ainsi qu'une base de chacun de ses sous-espaces propres.
(b) En déduire queest inversible et justifier la relation .
(c) Calculer la matricepar méthode du pivot. Vérifier que . - Soit
l'application qui à toute matrice de associe la matrice .
(a) Montrer queest un endomorphisme de .
(b) On définit l'ensembletelles que . Justifier que est le noyau de .
(c) Montrer que :.
(d) Montrer que l'équation, d'inconnue , a pour ensemble solution l'espace vectoriel .
(e) En déduire que.
(f) Citer le théorème du rang pour l'application. Quelle est la dimension de ?
EXERCICE 2
- (a) Etudier les variations de la fonction
définie sur par . (On précisera les limites aux bornes).
(b) En déduire que l'équationd'inconnue le réel , admet exactement deux solutions réelles et ( en notant la plus petite).
(c) Justifier queet . - On considère la fonction
définie sur .
On définit alors une suite
(a) Etudier les variations de
(b) Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n :
(c) Vérifier que
(d) Ecrire un programme en Pascal qui demande un entier
3. Soit la fonction de deux variables
(a) Etudier les variations de
(b) Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n :
(c) Vérifier que
(d) Ecrire un programme en Pascal qui demande un entier
3. Soit la fonction de deux variables
(a) Calculer les dérivées partielles premières de
(b) En déduire que le seul point critique de
(c) Calculer les dérivées partielles secondes de
(d) Montrer que
(b) En déduire que le seul point critique de
(c) Calculer les dérivées partielles secondes de
(d) Montrer que
EXERCICE 3
Dans cet exercice
Pour tout
On considère l'expérience
(Par exemple si on a obtenu quatre "piles" au cours de ces
On note
Pour tout
On considère l'expérience
(Par exemple si on a obtenu quatre "piles" au cours de ces
On note
- (a) Reconnaître la loi de probabilité de la variable aléatoire
.
On précisera en particulier
Donner l'espérance mathématique
(b) En utilisant la formule de Koenig-Huygens, calculer la valeur de
2. (a) Calculer
(b) Justifier que pour tout
(c) En déduire, en utilisant le système complet d'événements
Donner l'espérance mathématique
(b) En utilisant la formule de Koenig-Huygens, calculer la valeur de
2. (a) Calculer
(b) Justifier que pour tout
(c) En déduire, en utilisant le système complet d'événements
(d) Déterminer la loi de
3. (a) Montrer que
(b) En déduire la covariance du couple
3. (a) Montrer que
(b) En déduire la covariance du couple
EXERCICE 4
Soit
On considère la fonction
On considère la fonction
- (a) Vérifier que pour tout réel
.
(b) Montrer queest une densité.
On note
2. Déterminer la fonction de répartition de
3. On considère la variable aléatoire
(a) Montrer que la fonction de répartition
2. Déterminer la fonction de répartition de
3. On considère la variable aléatoire
(a) Montrer que la fonction de répartition
(b) En déduire que
(c) En déduire l'espérance et la variance de
4. Dans toute la suite
On cherche à estimer le réel
(a) Montrer que
(b) Calculer son risque quadratique noté
(c) En déduire l'espérance et la variance de
4. Dans toute la suite
On cherche à estimer le réel
(a) Montrer que
(b) Calculer son risque quadratique noté
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