BCE Maths appliquees ESC ECE 2002
Epreuve de maths appliquees - ECE 2002
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Intégrales généraliséesAlgèbre linéaireRéductionProbabilités finies, discrètes et dénombrementCalcul différentiel et fonctions à plusieurs variables
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Description
Annale de maths appliquees BCE ESC pour la filiere ECE, session 2002.
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Version HTML avec rendu des formules, intégrée sur la page canonique.
Epreuve maths voie conomique
EXERCICE 1 : suite d'intégrales impropres.
On considère, pour
On considère, pour
On définit également sur
- Montrer que les fonctions
et sont continues sur et étudier leur signe. - (a) Montrer que l'intégrale impropre
est convergente et déterminer sa valeur.
(b) Montrer que l'intégrale impropreest convergente.
Dans toute la suite de l'exercice on note alors
3. (a) Montrer, grâce au changement de variable
(b) En déduire que l'intégrale impropre
(c) En déduire également que l'intégrale impropre
4. (a) Montrer que pour tout réel
(b) Montrer que pour tout réel
(c) En déduire successivement :
3. (a) Montrer, grâce au changement de variable
(b) En déduire que l'intégrale impropre
(c) En déduire également que l'intégrale impropre
4. (a) Montrer que pour tout réel
(b) Montrer que pour tout réel
(c) En déduire successivement :
(d) Montrer que
EXERCICE 2 : calcul matriciel et algèbre linéaire.
On considère un paramètre réel
- (a) Montrer que
et ne dépendent plus de , et vérifier que : .
(b) On suppose queest une valeur propre de et que est un vecteur propre associé à cette valeur propre . Montrer que : et en déduire que : . - Dans cette série de questions on étudie le cas
et on cherche à diagonaliser .
(a) Montrer que les réels 0 et 2 sont bien valeurs propres de.
(b) Déterminer une base de chacun des deux sous-espaces propres de.
(c) Montrer queest diagonalisable, et donner une matrice carrée inversible et une matrice diagonale telles que .
(d) Montrer l'existence de deux réelset tels que . - Dans cette série de questions, on suppose que le paramètre
est non nul. On note la base canonique de et l'endomorphisme de dont la matrice relativement à est .
(a) Montrer que les réels 0 et 2 sont bien valeurs propres de.
(b) Déterminer une base de chacun des deux sous-espaces propres de.
La matriceest-elle diagonalisable ?
(c) On pose les vecteurs de:
.
Calculeret .
(d) Montrer que la famille () est une base de et former la matrice de l'endomorphisme relativement à cette base.
(e) En déduire une matrice carrée inversibletelle que
(f) Existe-t-il des réelset tels que ?
EXERCICE 3 : v.a.r. usuelles, fonctions de deux variables, optimisation.
Dans tout l'exercice
On considère deux variables aléatoires discrètes indépendantes
On pose alors
On considère deux variables aléatoires discrètes indépendantes
On pose alors
- (a) Déterminer l'ensemble
des valeurs possibles de .
(b) Exprimer en fonction deet les probabilités :
- (a) Donner les espérances et variances suivantes :
, , et en déduire et .
(b) On posela variable aléatoire définie par .
Montrer que l'espérance de
3. On pose
3. On pose
(a) Justifier que
(b) Calculer les dérivées partielles d'ordre 1 de
(c) Calculer les dérivées partielles d'ordre 2 de
(d) Montrer que pour tout couple
(b) Calculer les dérivées partielles d'ordre 1 de
(c) Calculer les dérivées partielles d'ordre 2 de
(d) Montrer que pour tout couple
En déduire que ce maximum local est un maximum global de
4. On suppose que les variables
(a) Quelles sont les valeurs que l'on doit donner aux paramètres
(b) Montrer que ce volume moyen maximum est de
4. On suppose que les variables
(a) Quelles sont les valeurs que l'on doit donner aux paramètres
(b) Montrer que ce volume moyen maximum est de
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