J-0
00m
00j
00h
00min
00s

BCE Maths appliquees emlyon ECG 2024

Epreuve de maths appliquees - ECG 2024

Notez ce sujet en cliquant sur l'étoile
0.0(0 votes)
Equations différentiellesSuites et séries de fonctionsAlgèbre linéaireProbabilités finies, discrètes et dénombrementInformatique
RetourLire
Logo concours BCE - Voir tous les sujets BCE

Voir tous les sujets

Logo concours BCE
🔗 Explorer
Banque
BCE
Année
2024
Filière
ECG
Matière
Mathématiques
Annales BCE ECG MathématiquesBCE ECG 2024ECG MathématiquesMathématiques 2024

Téléchargements disponibles

Sujet et rapport

Télécharger le sujet →Rapport du jury → indisponible

Corrigés

Télécharger corrigé →

Lecture et formats

Lire en ligne →LaTeX →Word →

Description

Annale de maths appliquees BCE emlyon pour la filiere ECG, session 2024.

Lecture web du sujet

Version HTML avec rendu des formules, intégrée sur la page canonique.

PDF
ebcbc483-4f49-47f9-83fb-846dfd6406ae

Conception : emLyon business school

MATHÉMATIQUES APPLIQUEÉS

FILIÈRE ÉCONOMIQUE ET COMMERCIALE

VOIE GÉNÉRALE

Mardi 23 Avril 2024, de 14h. à 18 h.
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Aucun document n'est autorisé. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

Exercice 1

Les parties et sont indépendantes de la partie .

Partie A : Résolution d'un système différentiel

On considère l'équation différentielle
où est une fonction définie et dérivable sur à valeurs dans .
  1. a) Résoudre l'équation différentielle homogène sur .
    b) Déterminer une solution particulière de ( ) de la forme avec .
    c) Résoudre l'équation différentielle ( ).
On s'intéresse maintenant au système différentiel :
où et désignent des fonctions définies et dérivables sur à valeurs dans .
2. a) Donner la matrice telle que
La matrice est-elle diagonalisable?
b) Justifier l'existence d'une unique solution de telle que et .
c) Déterminer cette solution en vous aidant de la question 1.
d) Étudier la convergence de la solution vers un état d'équilibre lorsque tend vers .
3. Recopier et compléter le programme en langage Python ci-dessous de manière à ce qu'il produise le graphique sur la droite représentant la trajectoire pour .
On rappelle que la commande np. linspace crée une liste de 200 valeurs régulièrement espacées allant de -2 à 10 .
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
T = np.linspace(-2,10,200)
x = [ ... for t in T]
y = [ ... for t in T]
plt.title("Trajectoire de la solution")
plt.plot( ... )
plt.show()
Trajectoire de la solution

Partie B : Étude d'une suite de fonctions

Pour tout entier , on considère la fonction définie sur par:
On note la courbe de dans le plan muni d'un repère orthonormé.
4. a) Calculer les limites de la fonction en et en .
b) Dresser le tableau de variation de en y faisant figurer les valeurs prises par en -1 et en 0 .
5. a) Étudier la position relative des courbes et . Vous préciserez leurs points d'intersection.
b) Dessiner sur un même graphique l'allure de et .

Partie C : Étude d'une suite implicite

  1. a) Montrer que, pour tout , l'équation admet une unique solution dans notée .
    b) Déterminer explicitement .
  2. Montrer que, pour tout entier , on a :
En déduire que la suite ( ) converge et donner sa limite.
8. a) Soit un entier, montrer que:
b) En déduire que lorsque tend vers .
9. Quelle est la nature de la série ?

Exercice 2

On considère les matrices carrées d'ordre deux suivantes :
On note le sous-ensemble de défini par:

Partie A: Étude de et de

  1. Calculer . En déduire que est inversible et donner son inverse.
  2. La matrice est-elle diagonalisable?
  3. Justifier que est un sous-espace vectoriel de .
  4. a) Résoudre l'équation d'inconnue .
    b) Montrer que ( ) est une base de .
  5. Soient et deux matrices quelconques .
    a) Montrer que le produit appartient à .
    b) Montrer que et commutent, c'est-à-dire que .
  6. Soit une matrice non nulle de . Montrer que est inversible et que appartient à .

Partie B : Toute équation du second degré admet une solution dans

On fixe un polynôme unitaire du second degré à coefficients réels :
On note son discriminant.
Le but de cette partie est de montrer qu'il existe une matrice telle que .
7. Soit avec .
a) Montrer: .
b) En déduire :
  1. Dans cette question, on montre que le système ci-dessus admet au moins une solution en distinguant deux cas :
    a) Si , montrer que le système admet au moins une solution de la forme .
    b) Si , montrer que le système admet au moins une solution ( ) avec .
  2. En vous aidant de la question précédente, donner une matrice telle que .

Partie C : Un endomorphisme bijectif de

On considère l'application définie par :
On note ( ) la base canonique de définie par:
  1. Montrer que est un endomorphisme de .
  2. Calculer . En déduire que l'endomorphisme est bijectif, et donner .
  3. a) Calculer , puis donner la matrice de dans la base canonique de .
    b) Justifier sans calcul que est diagonalisable et .
    (On pourra remarquer que où est la matrice identité d'ordre 4)
    c) Déterminer une base de chaque sous-espace propre de .

Exercice 3

Soit un entier naturel supérieur ou égal à 1 . On dispose d'une urne contenant boules numérotées de 1 à , et on effectue une succession illimitée de tirages d'une boule avec remise dans l'urne. Pour tout , on note la variable aléatoire indiquant le numéro de la boule obtenue au -ième tirage.
Pour tout entier , on note la variable aléatoire égale au nombre de tirages nécessaires pour obtenir numéros distincts, ainsi si on a obtenu numéros distincts lors des premiers tirages, mais seulement numéros distincts lors des premiers tirages.
Exemple : on suppose , si les huit premiers tirages donnent
1 2 3 4 5 6 7 8
2 3 3 3 1 2 1 4
alors et .

Partie A : Simulation informatique

  1. Soit . Reconnaître la loi de .
  2. Le programme en langage Python ci-dessous définit une fonction «ajout» qui prend en argument une liste et un entier .
def ajout(L,x):
    if (x in L) == False :
        L.append(x)
Expliquez succinctement comment et à quelle condition l'exécution de la commande ajout ( ) modifie la liste L.
3. Recopier et compléter la fonction Python "Simul_T" ci-dessous.
Cette fonction prend en argument deux entiers et . Elle a pour but de simuler la variable aléatoire . Dans le script nous notons :
  • L la liste sans répétition des numéros sortis lors des tirages effectués;
  • k le rang du tirage en cours;
  • x le résultat du tirage en cours.
import numpy.random as rd
def Simul_T(N,i):
    L = []
    k = 0
    while ... :
        x = rd.randint(1,N+1)
        ajout(L,x)
        k = ...
    return(...)
  1. On suppose .
Rédiger un programme Python qui calcule et affiche la moyenne de 100 réalisations de Simul_T(3,2). Que représente le résultat obtenu par rapport à la variable aléatoire ?

Partie B: Étude de dans le cas d'une urne contenant trois boules

Dans cette partie on suppose , ainsi l'urne contient exactement trois boules numérotées 1,2 et 3 .
5. Donner l'ensemble des valeurs prises par la variable aléatoire .
6. Soit un entier fixé.
a) Décrire l'évènement ( ) à l'aide des évènements ( ) et ( ) avec .
b) En déduire .
c) Montrer que .
7. Justifier que admet une espérance et la calculer.
8. Déterminer la loi de la variable aléatoire .
Reconnaître une loi usuelle, retrouver l'espérance de et donner sa variance.

Partie C : Quelques résultats dans le cas général

On retourne au cas général, l'urne contient boules numérotées de 1 à .
Pour tout , on note la variable aléatoire définie par:
La variable aléatoire donne le nombre de tirages nécessaires, après le -ième tirage, pour obtenir un numéro distinct des numéros déjà tirés.
On admet que les variable aléatoires sont indépendantes.

Décomposition de

  1. Soit .
    a) Justifier que suit la loi géométrique de paramètre .
    b) Exprimer et en fonction de et . Vérifier que ces formules restent vraies pour .
  2. Soit ; N】. Exprimer comme somme de .

Loi de

  1. a) Calculer pour tous et dans .
    b) En déduire que, pour tout entier ,
c) Déterminer la loi de .

Esperance et covariance

  1. Soit , montrer que .
  2. Soient et deux entiers tels que , montrer que
où désigne la covariance de et .
Fin de l'énoncé

Pas de description pour le moment