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BCE Maths appliquees emlyon ECG 2023

Epreuve de maths appliquees - ECG 2023

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Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Suites et séries de fonctionsProbabilités finies, discrètes et dénombrementAlgèbre linéaireEquations différentiellesInformatique
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Banque
BCE
Année
2023
Filière
ECG
Matière
Mathématiques
Annales BCE ECG MathématiquesBCE ECG 2023ECG MathématiquesMathématiques 2023

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Description

Annale de maths appliquees BCE emlyon pour la filiere ECG, session 2023.

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Conception : emlyon business school

MATHEMATIQUES APPLIQUÉES

FILIÈRE ÉCONOMIQUE ET COMMERCIALE

VOIE GÉNÉRALE

Mercredi 26 avril 2023, de 14 h. à 18 h.
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Aucun document n'est autorisé. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

Exercice 1

Études de fonctions et de suites

Pour on pose : .
On considère la suite définie par et par la relation de récurrence , valable pour tout entier naturel .
  1. a) Étudier les variations de la fonction (on dressera son tableau de variations, en précisant les limites).
    b) Vérifier que chaque terme de la suite est correctement défini et strictement positif.
  2. Informatique.
    a) Recopier et compléter la fonction Python suivante afin que l'appel fonc_1(a) renvoie le plus petit entier tel que .
def fonc_1(a):
    from numpy import exp
    u=1
    n=0
    while ...... :
        u=exp(-u)/u
        n=....
    return n
b) On considère maintenant la fonction Python :
def fonc_2(a):
    from numpy import exp
    u=1
    n=0
    while u<a :
        u=exp(-u)/u
        n=n+1
    return n
Les appels fonc_1 et fonc_2 donnent respectivement 6 et 5 .
Qu'en déduire pour et ?
Commenter ce résultat en une ligne.
c) Écrire une fonction Python qui a pour argument un entier et qui renvoie la valeur de .
3. Pour on pose : .
a) Démontrer que la fonction réalise une bijection de sur .
b) En déduire que l'équation , d'inconnue , possède une unique solution dans l'intervalle [, que l'on notera .
c) Justifier que . On rappelle que .
4. a) Démontrer que l'on a : .
b) En déduire que la suite est croissante.
c) Justifier que la suite converge.
5. Pour on pose : . On pose également .
a) Soit un réel strictement positif. Déterminer .
b) Démontrer que la fonction est continue sur .
c) Démontrer que l'équation , d'inconnue , admet exactement deux solutions sur qui sont 0 et étant le réel introduit à la question 3 b.
d) En déduire la limite de la suite .
6. La suite est-elle majorée? Admet-elle une limite?

Exercice 2

Deux systèmes différentiels

On considère la matrice définie par .

Partie I - Réduction de la matrice

  1. a) Quel est le rang de la matrice ?
    b) Justifier que 2 est valeur propre de la matrice et déterminer la dimension du sous-espace propre associé à la valeur propre 2 .
    c) Donner une base de .
    d) Combien de valeurs propres autres que 2 la matrice peut-elle avoir?
  2. a) Dans cette sous-question est une matrice dans et est le vecteur colonne .
Que représentent les coordonnées du vecteur colonne pour la matrice ?
b) En déduire la dernière valeur propre de ainsi qu'une base du sous-espace propre associé.
3. Donner une matrice diagonale to une matrice inversible telle que (on ne demande pas de préciser la matrice ).

Partie II - Un système différentiel

On considère le système différentiel
où et désignent des fonctions dérivables sur à valeurs dans .
4. Résoudre le système différentiel ( ).
5. a) Quel résultat permet d'affirmer l'existence d'une unique solution système différentiel telle que ?
b) Déterminer la solution de la question précédente.

Partie III - Un second système différentiel

Dans cette partie, on considère la matrice .
6. Déterminer les valeurs propres de .
7. La matrice est-elle diagonalisable?
8. On note l'endomorphisme de tel que est la matrice de dans la base canonique de . On considère aussi les vecteurs et .
a) Justifier que est une base de .
b) Quelle est la matrice de l'endomorphisme dans la base ?
c) Donner une matrice inversible telle que .
9. En déduire la résolution du système différentiel
où et sont des fonctions dérivables sur à valeurs réelles.

Exercice 3

L'entropie en probabilité

L'objet de cet exercice est d'introduire la fonction d'entropie qui mesure l'incertitude sur la valeur prise par une variable aléatoire donnée.

Notation

Dans tout l'exercice, désigne un entier naturel non nul et désigne l'ensemble des entiers compris entre 1 et :
Les parties II et III sont indépendantes, mais utilisent des résultats de la partie I.

Partie I - Préliminaire

  1. Soit définie par .
    a) Démontrer que la fonction est continue sur .
    b) La fonction est-elle dérivable en 0 ?
    c) Déterminer les antécédents de 0 par la fonction .
  2. Pour tout dans on pose .
Dresser le tableau de variations de la fonction .

Partie II - Des variables aléatoires discrètes

Si est une variable aléatoire discrète sur un espace probabilisé ( ), l'entropie de est, sous réserve d'existence :
En particulier, lorsque est à valeurs dans un ensemble fini , l'entropie de existe toujours et vaut :
où, pour tout dans .
3. Dans cette question est une variable aléatoire qui suit la loi uniforme discrète sur . Déterminer .
4. Soit une variable aléatoire qui suit une loi de Bernoulli de paramètre . Démontrer que avec égalité si et seulement si . On pourra utiliser la question 2 .
5. Soient et deux variables indépendantes qui suivent des loi de Bernoulli de paramètres respectifs et , définies sur le même espace probabilisé.
Soit la variable aléatoire telle que :
  • ;
  • l'événement est réalisé si et seulement si l'événement « est impair» est réalisé.
    On définit le réel par : .
    a) Quelles sont les valeurs prises par la variable aléatoire ?
    b) Démontrer que .
    c) Vérifier que
  1. Soit et une suite de variables aléatoires (mutuellement) indépendantes de même loi de Bernoulli de paramètre .
    Pour tout on pose et on considère la variable aléatoire telle que :
  • ;
  • l'événement est réalisé si et seulement si l'événement « est impair» est réalisé.
    a) Soit . Quelle est la loi de la variable aléatoire ?
    b) Démontrer que pour tout on a : (on pourra raisonner par récurrence).
    c) Démontrer que . Dans quel(s) cas a-t-on égalité?

Partie III - Des variables à densité

Si est une variable aléatoire sur un espace probabilisé ( ) de densité , on dit que admet une entropie lorsque l'intégrale impropre converge absolument; l'entropie de est alors :
  1. Soit une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur où et sont des réels tels que .
    a) Démontrer que admet une entropie.
    b) Déterminer .
  2. Soit une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre , de densité .
    a) Justifier de la convergence de l'intégrale impropre et déterminer sa valeur.
    b) Démontrer que admet une entropie et que .
  3. Soit une variable aléatoire qui suit une loi normale où et . On note la densité usuelle de la variable aléatoire .
    a) Donner l'espérance et la variance de . En déduire la valeur de l'intégrale impropre .
    b) Démontrer que admet une entropie et que

Fin de l'énoncé

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