BCE Maths appliquees emlyon ECE 2015
Epreuve de maths appliquees - ECE 2015
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Probabilités continuesProbabilités finies, discrètes et dénombrementFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Séries entières (et Fourier)Calcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesAlgèbre linéaire
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Annale de maths appliquees BCE emlyon pour la filiere ECE, session 2015.
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Conception : EMLYON Business School
épreuve (option économique) MATHÉMATIQUES
Mardi 28 avril 2015 de 8 heures à 12 heures
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.
EXERCICE 1
Dans tout l'exercice, (
Partie I : Loi exponentielle
Dans toute cette partie,
- Donner une densité, la fonction de répartition, l'espérance et la variance d'une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre
. - Justifier que les intégrales suivantes convergent et donner leurs valeurs :
- a. Soit
une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur . Quelle est la loi de la variable aléatoire ?
b. Écrire une fonction en Scilab qui, étant donné un réelstrictement positif, simule la loi exponentielle de paramètre .
On considère une suite
Pour tout
Partie II : Loi de la variable aléatoire
- a. Calculer, pour tout
de et pour tout de , la probabilité .
b. En déduire que, pour toutde est une variable aléatoire à densité, admettant pour densité la fonction . - a. Montrer que, pour tout
de , la variable aléatoire admet une espérance.
b. Déterminer l'espérancede et l'espérance de . - a. Vérifier :
.
b. Montrer ensuite, à l'aide d'une intégration par parties :
c. En déduire, pour tout
Partie III : Loi du premier dépassement
Dans toute cette partie, a désigne un réel strictement positif.
On définit la variable aléatoire
7. Justifier l'égalité d'événements :
8. Montrer :
9. Déterminer l'espérance
On définit la variable aléatoire
7. Justifier l'égalité d'événements :
8. Montrer :
9. Déterminer l'espérance
On s'intéresse maintenant à la variable aléatoire
- Justifier :
. - Soit
.
a. Soit. Justifier l'égalité d'événements :
En déduire la probabilité
b. Montrer alors :
12. a. Montrer que la variable aléatoire
b. En déduire l'existence et la valeur de
b. Montrer alors :
12. a. Montrer que la variable aléatoire
b. En déduire l'existence et la valeur de
EXERCICE 2
Dans cet exercice, on pourra utiliser l'encadrement suivant :
Partie I : Étude d'une fonction
On considère l'application
- Dresser le tableau de variations de
, en précisant la limite de en , sa valeur en 0 et sa limite en . - Établir que l'équation
, d'inconnue , admet une solution et une seule, notée , et que appartient à l'intervalle .
On considère l'application
Partie II : Étude d'une suite
- Montrer :
. - Établir que la suite
est croissante. - Quelle est la limite de
lorsque l'entier tend vers l'infini?
Partie III : Étude d'une série
- Montrer que la série
converge. On note . - Montrer :
. - En déduire une fonction en Scilab qui calcule une valeur approchée de
à près.
Partie IV : Étude d'une fonction de deux variables
On considère l'ouvert
- Représenter graphiquement l'ensemble
. - Calculer, pour tout
de , les dérivées partielles premières de en . - Montrer que
admet deux points critiques et deux seulement, et que ceux-ci sont et , où est le réel défini à la question 2 . - Est-ce que
admet un extremum local en ? - Est-ce que
admet un extremum local en ? - Est-ce que
admet un extremum global sur ?
EXERCICE 3
Soit
On note
On note
On considère un endomorphisme
où
- a. Montrer que
n'est pas bijectif.
b. En déduire que 0 est valeur propre de, puis montrer qu'il existe appartenant à tel que :
Soit
2. Montrer :
3. Est-ce que
4. Montrer que
2. Montrer :
3. Est-ce que
4. Montrer que
Soit
5. Montrer :
6. a. Montrer que la famille
b. Déterminer la matrice
5. Montrer :
6. a. Montrer que la famille
b. Déterminer la matrice
On considère les matrices suivantes :
- Déterminer la dimension de
. - Montrer :
. - a. Pour tout
, calculer la matrice .
b. En déduire une matricede telle que : . - On note
.
Montrer que
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