BCE Maths appliquees emlyon ECE 2012
Epreuve de maths appliquees - ECE 2012
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Algèbre linéaireFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Calcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesIntégrales généraliséesProbabilités continuesStatistiques
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Description
Annale de maths appliquees BCE emlyon pour la filiere ECE, session 2012.
Lecture web du sujet
Version HTML avec rendu des formules, intégrée sur la page canonique.
Code épreuve : 296
Concepteur : EMLYON Business School
MATHÉMATIQUES
Lundi 30 avril 2012 de 8 heures à 12 heures
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.
Exercice 1
On considère les matrices carrées d'ordre 2 suivantes :
Partie I: Étude de la matrice
- Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de
.
Est-ce que
2. Déterminer une matrice diagonale
3. Vérifier que
4. Montrer que
2. Déterminer une matrice diagonale
3. Vérifier que
4. Montrer que
Partie II : Étude d'un endomorphisme de
On considère l'application
- Vérifier que
est un endomorphisme de . - Montrer que
est bijectif et exprimer sous une forme analogue à celle donnée pour . - On se propose dans cette question de déterminer les valeurs propres de
.
a. Soient.
On note
Montrer :
b. Déterminer les réels
c. En déduire les valeurs propres de
d. On note
Montrer :
b. Déterminer les réels
c. En déduire les valeurs propres de
d. On note
Montrer:
Exercice 2
Partie I: Étude d'une fonction d'une variable réelle
On considère l'application
- Montrer que
est continue sur . - Montrer que
est de classe sur et calculer pour tout . - Dresser le tableau des variations de
. On précisera la limite de en . - Montrer que
est convexe sur . - On note
la courbe représentative de dans un repère orthonormal ( ).
a. Montrer queadmet une demi-tangente en et préciser celle-ci.
b. Déterminer les points d'intersection deet de l'axe des abscisses.
c. Préciser la nature de la branche infinie de.
d. Tracer l'allure de. On admet : .
Partie II : Étude d'une fonction de deux variables réelles
On considère l'application
- Calculer les dérivées partielles premières de
en tout de . - Montrer que (e, e) est un point critique de
. - Calculer les dérivées partielles secondes de
en tout ( ) de . - Est-ce que
admet un extrémum local en (e, e) ?
Exercice 3
Soit
- Montrer que, pour tout entier
tel que , l'intégrale est convergente. - a. Rappeler une densité d'une variable aléatoire qui suit la loi normale d'espérance nulle et de variance
.
En déduire :.
b. Calculer la dérivée de l'applicationdéfinie, pour tout , par : .
En déduire :
3. a. Montrer, pour tout entier
3. a. Montrer, pour tout entier
b. En déduire, pour tout entier
c. Calculer
c. Calculer
On considère l'application
- Montrer que
est une densité.
On considère une variable aléatoire
5. Déterminer la fonction de répartition de la variable aléatoire
6. Montrer que la variable aléatoire
7. Montrer que la variable aléatoire
8. a. On considère une variable aléatoire
b. En déduire un programme en langage Pascal, utilisant le générateur aléatoire Pascal, simulant la variable aléatoire
5. Déterminer la fonction de répartition de la variable aléatoire
6. Montrer que la variable aléatoire
7. Montrer que la variable aléatoire
8. a. On considère une variable aléatoire
b. En déduire un programme en langage Pascal, utilisant le générateur aléatoire Pascal, simulant la variable aléatoire
Soit un entier
On dit que
On admet que si
On admet que si
On dit que
On admet que si
On admet que si
On considère
9. On considère la variable aléatoire
a. Montrer que la variable aléatoire
b. Déterminer le risque quadratique de l'estimateur
9. On considère la variable aléatoire
a. Montrer que la variable aléatoire
b. Déterminer le risque quadratique de l'estimateur
On définit la variable aléatoire
Ainsi :
10. a. Montrer, pour tout
b. En déduire la fonction de répartition de
c. Montrer que
d. Montrer que la variable aléatoire
11. a. En déduire un estimateur
b. Déterminer le risque quadratique de l'estimateur
Ainsi :
10. a. Montrer, pour tout
b. En déduire la fonction de répartition de
c. Montrer que
d. Montrer que la variable aléatoire
11. a. En déduire un estimateur
b. Déterminer le risque quadratique de l'estimateur
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