BCE Maths appliquees emlyon ECE 2011
Epreuve de maths appliquees - ECE 2011
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Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Suites et séries de fonctionsCalcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesAlgèbre linéaireProbabilités finies, discrètes et dénombrementProbabilités continues
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Annale de maths appliquees BCE emlyon pour la filiere ECE, session 2011.
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Version HTML avec rendu des formules, intégrée sur la page canonique.
BANQUE COMMUNE D'ÉPREUVES
Concepteur : EMLYON Business School
MATHÉMATIQUES
Lundi 2 mai 2011 de 8 heures à 12 heures
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.
Exercice 1
On considère l'application
Partie I: Étude et représentation graphique de
- Montrer que
est dérivable sur . On note sa fonction dérivée.
Pour tout
2. Établir :
2. Établir :
- En déduire :
- En déduire le sens de variation de
. - Dresser le tableau de variation de
, comprenant la limite de en 0 et la limite de en . Calculer et . - Préciser la nature des branches infinies de la courbe représentative
de dans un repère du plan. - Tracer l'allure de
. On précisera la tangente au point d'abscisse 1.
Il n'est demandé ni l'étude de la convexité, ni la recherche d'éventuels points d'inflexion.
Partie II : Étude d'une suite récurrente associée à
On considère la suite réelle
- Montrer que, pour tout
existe et . - Établir, par récurrence :
.
Quelle est la limite de
3. Écrire un programme en Turbo-Pascal qui calcule et affiche le plus petit entier naturel
3. Écrire un programme en Turbo-Pascal qui calcule et affiche le plus petit entier naturel
Partie III : Étude d'extremums locaux pour une fonction de deux variables associée à
On considère l'application
- Montrer que
est de classe sur et exprimer , pour tout , à l'aide de .
On considère l'application de classe
- Exprimer les dérivées partielles premières
et , pour tout , à l'aide de et . - a. Montrer que
est bijective.
b. Établir que, pour toutest un point critique de si et seulement si :
- Montrer que l'équation
, d'inconnue , admet une solution et une seule, que l'on notera , et montrer que : . - Montrer que
admet un extremum local. Préciser sa nature.
Exercice 2
On considère les matrices carrées d'ordre 3 suivantes :
Partie I : Détermination d'une racine carrée de
- Sans calcul, justifier que
est diagonalisable et non inversible. Déterminer le rang de . - Montrer que 0,1 et 4 sont les trois valeurs propres de
et déterminer les sous-espaces propres associés. - En déduire une matrice diagonale
de dont les coefficients diagonaux sont dans l'ordre croissant, et une matrice inversible de , dont les coefficients de la première ligne sont tous égaux à 1 , telles que : . - Calculer
. - Montrer qu'il existe une matrice diagonale
de , dont les coefficients diagonaux sont dans l'ordre croissant, telle que , et déterminer . - On note
. Montrer et calculer .
Partie II : Étude d'endomorphismes
On munit
On note
On note
- Déterminer les matrices de
et dans la base . - a. Déterminer une base et la dimension de
.
b. Déterminer une base et la dimension de. - a. Déterminer une base et la dimension de
.
b. Déterminer une base et la dimension de. - Trouver au moins un automorphisme
de tel que .
On déterminera
Exercice 3
Les deux parties sont indépendantes.
Soit
Partie I : Différence de deux variables aléatoires
Soit
On définit la variable aléatoire
On définit la variable aléatoire
- Déterminer la loi de
. Rappeler son espérance et sa variance. - Montrer que
suit une loi binomiale. Donner son espérance et sa variance.
On note
3. Que représente la variable aléatoire
4. a. Les variables aléatoires
b. Calculer la covariance du couple (
3. Que représente la variable aléatoire
4. a. Les variables aléatoires
b. Calculer la covariance du couple (
Partie II : Variable aléatoire à densité conditionnée par une variable aléatoire discrète
Dans cette partie, on note
- Rappeler la loi de
, son espérance et sa variance.
On considère une variable aléatoire
2. a. Montrer :
b. Déterminer la fonction de répartition de la variable aléatoire
c. En déduire que
3. On note
a. Montrer :
b. En déduire que la variable aléatoire
c. Montrer :
2. a. Montrer :
b. Déterminer la fonction de répartition de la variable aléatoire
c. En déduire que
3. On note
a. Montrer :
b. En déduire que la variable aléatoire
c. Montrer :
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