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BCE Maths appliquees EDHEC ECE 2020

Epreuve de maths appliquees - ECE 2020

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Algèbre linéaireProbabilités finies, discrètes et dénombrementProbabilités continuesStatistiquesFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Séries et familles sommables
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Banque
BCE
Année
2020
Filière
ECE
Matière
Mathématiques
Annales BCE ECE MathématiquesBCE ECE 2020ECE MathématiquesMathématiques 2020

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Description

Annale de maths appliquees BCE EDHEC pour la filiere ECE, session 2020.

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Conception : EDHEC BS

OPTION ÉCONOMIQUE
MATHÉMATIQUES

Mardi 5 mai 2020, de 8 h. à 12 h.
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Aucun document n'est autorisé. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

Exercice 1

On note la transposée d'une matrice et on rappelle que la transposition est une application linéaire.
On dit qu'une matrice de est antisymétrique lorsqu'elle vérifie et on note l'ensemble des matrices antisymétriques.
  1. Montrer que est un sous-espace vectoriel de .
On considère une matrice fixée de et l'application , qui à toute matrice de , associe :
  1. a) Soit une matrice de . Établir que est une matrice antisymétrique.
    b) En déduire que est un endomorphisme de .
Dans toute la suite, on étudie le cas et on choisit .
3) On considère les trois matrices et .
a) Montrer que la famille est une famille génératrice de .
b) Montrer que est une famille libre et en déduire la dimension de .
4) a) Calculer et , puis les exprimer comme combinaisons linéaires de et seulement. Les calculs devront figurer sur la copie.
b) En déduire une base de ne contenant que des matrices de .
c) Déterminer la dimension de puis en donner une base.
5) a) Écrire la matrice de dans la base . On vérifiera que ses coefficients sont tous dans .
b) En déduire les valeurs propres de .
c) On note Id l'endomorphisme identité de . Déterminer le rang de et dire si est ou n'est pas diagonalisable.

Exercice 2

On considère une variable aléatoire suivant la loi normale , où est strictement positif. On rappelle que la fonction qui à tout réel associe est une densité de et on note la fonction de répartition de , définie par :
  1. Montrer que: .
  2. On pose et on admet que est une variable aléatoire.
    a) Montrer que la fonction de répartition de est la fonction, notée , définie par :
b) En déduire que est une variable à densité et donner une densité de .
c) Montrer que possède une espérance et que l'on a
3) On suppose, dans cette question seulement, que est inconnu et on se propose de l'estimer.
Soit un entier naturel supérieur ou égal à 1 . On considère un échantillon ( ) composé de variables aléatoires, mutuellement indépendantes, et ayant toutes la même loi que .
On note la variable aléatoire définie par .
a) Montrer que est un estimateur de , donner la valeur de son biais, puis proposer un estimateur sans biais de , que l'on notera , construit de façon affine à partir de .
b) Rappeler la valeur du moment d'ordre 2 de , puis déterminer et .
c) Déterminer le risque quadratique de en tant qu'estimateur de . En déduire que est un estimateur convergent de .
4) On rappelle qu'en Scilab, si et désignent deux entiers naturels non nuls, la commande grand ( nor', ) simule dans un tableau à lignes et colonnes, variables aléatoires mutuellement indépendantes et suivant toutes la loi normale d'espérance et de variance .
Compléter le script Scilab suivant afin qu'il permette de simuler les variables aléatoires et pour des valeurs de et entrées par l'utilisateur.
n=input('entrez la valeur de n :')
sigma=input('entrez la valeur de sigma :')
X=------ // simulations de X1,...,Xn
Y=------ // simulations de Y1,...,Yn
S=------
T=-------

Exercice 3

Soit un entier naturel non nul et un réel de . On pose .
On dispose de deux urnes, l'urne qui contient boules numérotées de 1 à et l'urne qui contient des boules blanches en proportion .
On pioche une boule au hasard dans et on note la variable aléatoire égale au numéro de la boule tirée.
Si prend la valeur , on pioche boules dans , une par une, avec remise à chaque fois de la boule tirée, et on appelle la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches obtenues.
  1. Dans le cas où , reconnaître la loi de .

On revient au cas général.

  1. Reconnaître la loi de et donner son espérance et sa variance.
  2. Soit un élément de . Reconnaître la loi de , conditionnellement à l'événement ( ), et en déduire, en distinguant les cas et , la probabilité .
  3. On rappelle les commandes Scilab suivantes qui permettent de simuler des variables usuelles discrètes :
    grand ( 1,1 , 'uin', ) simule une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur . grand bin simule une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres . grand , 'geom', p simule une variable aléatoire suivant la loi géométrique de paramètre . grand , 'poi', a) simule une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramètre .
Compléter le script Scilab suivant afin qu'il permette de simuler les variables et .
n=input('entrez la valeur de n :')
p=input('entrez la valeur de p :')
X=------
Y=-------
  1. a) Justifier que l'ensemble des valeurs prises par est égal à , puis montrer que :
b) Écrire, pour tout de , la probabilité sous forme d'une somme de termes que l'on ne cherchera pas à simplifier.
6) a) Soit et deux entiers naturels tels que . Montrer l'égalité : .
b) Établir ensuite que possède une espérance et que celle-ci est donnée par :
c) En déduire que .
7) a) Établir que :
b) Montrer que l'on a :
c) Vérifier que cette expression reste valable pour .
d) Exprimer, sans chercher à la calculer, la variance de en fonction de et .

Problème

On convient que, pour tout réel , on a .
  1. Pour tout de , justifier l'existence des intégrales:
  1. Calculer et .
  2. a) Pour tout de , calculer .
    b) En déduire .
    c) Compléter le script Scilab suivant pour qu'il permette le calcul de (dans la variable b) et son affichage pour une valeur de entrée par l'utilisateur.
n=input('donnez une valeur pour n :')
a=1/2
b= log (2) - 1/2
for k=2:n
    aux=a
    a=-------
    b=------
end
disp (b)
  1. a) Montrer que: .
    b) En déduire que la suite ( ) est convergente et donner sa limite.
  2. Établir, à l'aide d'une intégration par parties, que : .
  3. a) Calculer puis exprimer, pour tout entier naturel en fonction de .
    b) En déduire la valeur de .
  4. En utilisant les questions 5) et 6), compléter le script Scilab suivant afin qu'il permette le calcul et l'affichage de pour une valeur de entrée par l'utilisateur.
n=input('donnez une valeur pour n :')
J=log(2)
for k=1:n-1
J=------
end
I=------
disp(I)
  1. Établir que: .
  2. a) Utiliser les questions 4) et 5) pour déterminer la valeur de .
    b) En déduire la nature de la série de terme général ainsi que la valeur de .
    c) Utiliser la question 5) pour déterminer un équivalent de , du type , avec , lorsque est au voisinage de .
  3. Pour tout de , on pose .
    a) Déduire des questions précédentes un équivalent de lorsque est au voisinage de
    b) Montrer que la série de terme général est convergente. Peut-on en déduire la nature de la série de terme général ?
  4. On se propose, malgré l'impasse précédente, de montrer que la série de terme général est convergente. Pour ce faire, on admet le résultat suivant: si une suite est telle que les suites et ( ) sont convergentes et de même limite , alors la suite ( ) converge vers .
Pour tout entier naturel non nul, on pose .
a) Justifier que, pour tout entier naturel non nul, on a : .
b) En déduire l'égalité suivante :
c) Montrer alors que . Conclure.
12) Des trois résultats suivants, expliquer lequel on vient de démontrer.
a) .
b) .
c) .

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