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BCE Maths appliquees EDHEC ECE 2017

Epreuve de maths appliquees - ECE 2017

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Calcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesAlgèbre linéaireProbabilités finies, discrètes et dénombrementProbabilités continuesStatistiquesInformatique
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Banque
BCE
Année
2017
Filière
ECE
Matière
Mathématiques
Annales BCE ECE MathématiquesBCE ECE 2017ECE MathématiquesMathématiques 2017

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Description

Annale de maths appliquees BCE EDHEC pour la filiere ECE, session 2017.

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Version HTML avec rendu des formules, intégrée sur la page canonique.

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Conception : EDHEC

OPTION ÉCONOMIQUE

MATHÉMATIQUES

2 mai 2017, de 8 h. à 12 h.
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

Exercice 1

On considère la fonction qui à tout couple de associe le réel :
  1. Justifier que est de classe sur .
  2. a) Calculer les dérivées partielles d'ordre 1 de .
    b) Montrer que le gradient de est nul si, et seulement si, on a : .
    c) En déduire que possède trois points critiques : et .
  3. a) Calculer les dérivées partielles d'ordre 2 de .
    b) Écrire la matrice hessienne de en chaque point critique.
    c) Déterminer les valeurs propres de chacune de ces trois matrices puis montrer que admet un minimum local en deux de ses points critiques. Donner la valeur de ce minimum.
    d) Déterminer les signes de et au voisinage de . Conclure quant à l'existence d'un extremum en le troisième point critique de .
  4. a) Pour tout de , calculer .
    b) Que peut-on déduire de ce calcul quant au minimum de ?
  5. a) Compléter la deuxième ligne du script suivant afin de définir la fonction .
function z=f(x,y)
z = ------
endfunction
x=linspace(-2,2,101)
y=x
fplot3d(x,y,f)
b) Le script précédent, une fois complété, renvoie l'une des trois nappes suivantes. Laquelle ? Justifier la réponse.
Nappe 1
Nappe 2
Nappe 3

Exercice 2

On note l'espace vectoriel des fonctions polynomiales de degré inférieur ou égal à 2 et on rappelle que la famille est une base de , les fonctions étant définies par :
On considère l'application qui, à toute fonction de , associe la fonction, notée , définie par :
  1. a) Montrer que est linéaire.
    b) Déterminer et en fonction de , puis écrire et comme combinaisons linéaires de .
    c) Déduire des questions précédentes que est un endomorphisme de .
  2. a) Écrire la matrice de dans la base ( ). On vérifiera que la première ligne de est :
b) Justifier que est un automorphisme de .
c) L'endomorphisme φ est-il diagonalisable ?
3) Compléter les commandes Scilab suivantes pour que soit affichée la matrice pour une valeur de entrée par l'utilisateur :
n=input('entrez une valeur pour n : ')
A= [------]
disp(------)
  1. a) Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel , il existe un réel tel que l'on ait :
Donner et établir que :
b) En déduire, par sommation, l'expression de pour tout entier naturel .
c) Écrire sous forme de tableau matriciel.

Exercice 3

Soit une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre 1 , dont la fonction de répartition est la fonction définie par : .
On pose et on admet que est aussi une variable aléatoire dont la fonction de répartition est notée . On dit que suit la loi de Gumbel.
  1. a) Montrer que : .
    b) En déduire que est une variable à densité.
On désigne par un entier naturel non nul et par des variables aléatoires définies sur le même espace probabilisé, indépendantes et suivant la même loi que , c'est-à-dire la loi .
On considère la variable aléatoire définie par , c'est-à-dire que, pour tout de , on a : . On admet que est une variable aléatoire à densité.
2) a) Montrer que la fonction de répartition de est définie par :
b) En déduire une densité de .
3) a) Donner un équivalent de lorsque est au voisinage de , puis montrer que l'intégrale est convergente.
b) Établir l'égalité suivante :
c) Montrer que .
d) En déduire que possède une espérance et prouver l'égalité :
  1. a) Montrer, grâce au changement de variable , que l'on a :
b) En déduire que , puis donner sous forme de somme.
5) On pose .
a) On rappelle que grand simule variables aléatoires indépendantes et suivant toutes la loi exponentielle de paramètre 1 .
Compléter la déclaration de fonction Scilab suivante afin qu'elle simule la variable aléatoire .
function Y=f(n)
x = grand(1,n,'exp',1)
Z =------
endfunction
b) Voici deux scripts :
V=grand(1,10000,'exp',1)
W}=-\operatorname{log(V)
s=linspace(0,10,11)
histplot(s,W)
    Script (1)

n=input('entrez la valeur de n : ')
Z=[] // La matrice-ligne Z est vide
for k=1:10000
    Z=[Z,f(n)]
end
s=linspace(0,10,11)
histplot(s,Z)
Script (2)
Chacun de ces scripts simule 10000 variables indépendantes, regroupe les valeurs renvoyées en 10 classes qui sont les intervalles , (la largeur de chaque rectangle est égale à 1 et leur hauteur est proportionnelle à l'effectif de chaque classe).
Le script (1) dans lequel les variables aléatoires suivent la loi de Gumbel (loi suivie par ), renvoie l'histogramme (1) ci-dessous, alors que le script (2) dans lequel les variables aléatoires suivent la même loi que , renvoie l'histogramme (2) ci-dessous, pour lequel on a choisi .
Histogramme (1)
Histogramme (2) pour
Quelle conjecture peut-on émettre quant au comportement de la suite des variables aléatoires ( ).
6) On note la fonction de répartition de .
a) Justifier que, pour tout réel , on a : .
b) Déterminer explicitement .
c) Montrer que, pour tout réel , on a : .
d) Démontrer le résultat conjecturé à la question 5b).

Problème

Partie 1 : étude d'une variable aléatoire.

Les sommets d'un carré sont numérotés et 4 de telle façon que les côtés du carré relient le sommet 1 au sommet 2, le sommet 2 au sommet 3, le sommet 3 au sommet 4 et le sommet 4 au sommet 1 .
Un mobile se déplace aléatoirement sur les sommets de ce carré selon le protocole suivant :
  • Au départ, c'est-à-dire à l'instant 0 , le mobile est sur le sommet 1 .
  • Lorsque le mobile est à un instant donné sur un sommet, il se déplace à l'instant suivant sur l'un quelconque des trois autres sommets, et ceci de façon équiprobable.
    Pour tout de , on note la variable aléatoire égale au numéro du sommet sur lequel se situe le mobile à l'instant . D'après le premier des deux points précédents, on a donc .
  1. Donner la loi de , ainsi que l'espérance de la variable aléatoire .
On admet pour la suite que la loi de est donnée par :
  1. Pour tout entier naturel supérieur ou égal à 2 , donner, en justifiant, l'ensemble des valeurs prises par .
  2. a) Utiliser la formule des probabilités totales pour établir que, pour tout entier naturel supérieur ou égal à 2 , on a :
b) Vérifier que cette relation reste valable pour et .
c) Justifier que, pour tout de , on a et en déduire l'égalité :
d) Établir alors que : .
4) a) En procédant de la même façon qu'à la question précédente, montrer que l'on a :
b) En déduire une relation entre et .
c) Montrer enfin que: .
5) On admet que, pour tout entier naturel , on a :
En déduire sans calcul que :
  1. Déterminer, pour tout entier naturel , l'espérance de la variable aléatoire .

Partie 2 : calcul des puissances d'une matrice .

Pour tout de , on considère la matrice-ligne de :
  1. a) Montrer (grâce à certains résultats de la partie 1) que, si l'on pose , on a :
b) Établir par récurrence que :
c) En déduire la première ligne de .
8) Expliquer comment choisir la position du mobile au départ pour trouver les trois autres lignes de la matrice , puis écrire ces trois lignes.

Partie 3 : une deuxième méthode de calcul des puissances de A.

On considère les matrices et suivantes : et .
9) Déterminer les réels et tels que .
10) a) Calculer puis établir que, pour tout entier naturel non nul, on a : .
b) À l'aide de la formule du binôme de Newton, en déduire, pour tout entier naturel non nul, l'expression de comme combinaison linéaire de et .
c) Vérifier que l'expression trouvée reste valable pour .

Partie 4 : informatique.

  1. a) Compléter le script Scilab suivant pour qu'il affiche les 100 premières positions, autres que celle d'origine, du mobile dont le voyage est étudié dans ce problème, ainsi que le nombre de fois où il est revenu sur le sommet numéroté 1 au cours de ses 100 premiers déplacements (on pourra utiliser la commande sum).
A = [-----] /3
x=grand(100,'markov',A,1)
n=------
disp(x)
disp(n)
b) Après avoir exécuté cinq fois ce script, les réponses concernant le nombre de fois où le mobile est revenu sur le sommet numéroté 1 sont et . En quoi est-ce normal?

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