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BCE Maths appliquees EDHEC ECE 2015

Epreuve de maths appliquees - ECE 2015

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Probabilités finies, discrètes et dénombrementProbabilités continuesIntégrales généraliséesTopologie/EVNAlgèbre linéaireRéduction
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Banque
BCE
Année
2015
Filière
ECE
Matière
Mathématiques
Annales BCE ECE MathématiquesBCE ECE 2015ECE MathématiquesMathématiques 2015

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Description

Annale de maths appliquees BCE EDHEC pour la filiere ECE, session 2015.

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Version HTML avec rendu des formules, intégrée sur la page canonique.

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9b01d769-0571-44c5-9bf5-a0db738b926f

Conception : EDHEC

MATHÉMATIQUES

OPTION : ÉCONOMIQUE

Mardi 5 Mai 2015, de 8 h. à 12 h.
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document, seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

Exercice 1

On note la base canonique de . On désigne par la matrice identité de et on considère l'endomorphisme de dont la matrice dans la base est :
  1. a) Déterminer la dimension de , puis montrer que la famille est une base de .
    b) En déduire la dimension de puis donner une base de .
  2. On note et .
    a) Écrire et comme combinaisons linéaires de , puis et comme combinaisons linéaires de et .
    b) En déduire les valeurs propres de et préciser les sous-espaces propres associés.
    c) Établir que est diagonalisable et déterminer une matrice diagonale et une matrice inversible telles que .
  3. a) Établir la relation suivante : .
    b) En déduire que le polynôme défini par est un polynôme annulateur de .
  4. On admet que (principe de la division euclidienne), pour tout entier naturel non nul, il existe un unique polynôme et trois réels et tels que :
a) En utilisant les racines de , déterminer les valeurs de et en fonction de .
b) Déduire de ce qui précède l'expression, pour tout entier naturel non nul, de en fonction de et .
5) Compléter, à l'aide de matrices de type zeros et ones, les deux espaces laissés libres dans la commande Scilab suivante pour qu'elle permette de construire la matrice .
C = [ones(1,5);------,------;ones(1,5)]

Exercice 2

Trois personnes, notées et entrent simultanément dans une agence bancaire disposant de deux guichets. Les clients et occupent simultanément à l'instant 0 les deux guichets tandis que attend que l'un de ces deux guichets se libère pour se faire servir.
On suppose que :
  • Les durées de passage au guichet des trois personnes et sont mesurées en heures et on suppose que ce sont des variables aléatoires indépendantes, notées respectivement et , et suivant toutes la loi uniforme sur .
  • La durée du changement de personne à un guichet est négligeable.
  1. On pose et et on admet que et sont des variables aléatoires.
    a) Montrer que la fonction de répartition de est définie par : .
    b) En déduire que est une variable aléatoire à densité et donner une densité de .
    c) Déterminer l'espérance et la variance de .
  2. On note le temps total passé par dans l'agence bancaire.
    a) Exprimer en fonction de certaines des variables précédentes.
    b) En déduire et .
  3. a) On rappelle que, si a et b sont deux vecteurs lignes de taille , les commandes et renvoient les vecteurs m et M , de même taille que a et b , et tels que, pour tout de , on ait: et .
    On rappelle également que grand unf', 0,1 ) simule variables aléatoires indépendantes suivant la loi uniforme sur .
    Compléter les commandes Scilab suivantes pour qu'elles permettent de simuler fois les variables aléatoires et , pour entré par l'utilisateur :
    n = input('entrez la valeur de n :')

    , 'unf', 0,1

    u = ------ ; disp(u, 'u = ')
    v = ------ ; disp(v, 'v = ')
    t = ------ ; disp(t, 't = ')
    b) Que représente l'événement ( )?
    c) On souhaite déterminer une valeur approchée de la probabilité en simulant un grand nombre de fois le passage des clients et aux guichets.
    Compléter les commandes ; disp ( ') pour que, placées sous les commandes écrites à la question 3a), elles permettent d'obtenir une valeur approchée de
    d) Lors de plusieurs essais des commandes ci-dessus, avec , la réponse donnée par Scilab est comprise entre 0.66 et 0.67 . Que peut-on conjecturer quant à la valeur exacte de ?

Exercice 3

  1. Pour tout entier naturel , on pose:
a) Justifier que et sont des intégrales convergentes et donner leur valeur (on pourra s'appuyer sur le cours de probabilité).
b) Pour tout réel positif et tout entier naturel , on pose : .
Établir, grâce à une intégration par parties, que : .
c) En déduire que et sont des intégrales convergentes et vérifier que : et .
2) Déduire des questions précédentes que, pour tout couple de réels, est une intégrale convergente.
On considère, pour toute la suite, la fonction de dans définie par:
  1. a) Vérifier que l'on a: .
    b) Justifier que est de classe sur .
  2. a) Calculer les dérivées partielles d'ordre 1 de puis déterminer le seul point critique ( ) de .
    b) Calculer les dérivées partielles d'ordre 2 de et écrire la matrice hessienne de en son point critique.
    c) Déterminer les valeurs propres de et en déduire que admet un extremum local au point dont on précisera la nature (minimum ou maximum) et la valeur.
  3. Le but de cette question est de montrer qu'en fait cet extremum est global.
    a) Compléter le membre de droite de l'égalité suivante :
b) Compléter de même l'égalité :
c) En déduire une autre écriture de montrant que l'extremum trouvé plus haut est global.

Problème

Partie 1

Dans cette partie, désigne un réel de .
  1. a) Montrer que: .
    b) En déduire que: .
  2. a) Pour tout réel de et pour tout élément de , calculer .
    b) En déduire que : .
    c) Utiliser la question 1) pour montrer que la série de terme général converge et exprimer sous forme d'une intégrale que l'on ne cherchera pas à calculer.
    d) Conclure que : .
On admet sans démonstration que l'on a aussi : .

Partie 2

Un joueur réalise une suite de lancers indépendants d'une pièce. Cette pièce donne "pile" avec la probabilité et "face" avec la probabilité .
On note la variable aléatoire égale au rang d'apparition du premier "pile".
Si prend la valeur , le joueur place boules numérotées de 1 à dans une urne, puis il extrait une boule au hasard de cette urne. On dit que ce joueur a gagné si le numéro porté par la boule tirée est impair et on désigne par l'événement : « le joueur a gagné ».
On appelle la variable aléatoire égale au numéro porté par la boule extraite de l'urne.
  1. Reconnaître la loi de .
  2. a) Montrer que, si est un entier naturel, la commande floor ( ) renvoie la valeur si et seulement si est pair.
    b) Compléter les commandes Scilab suivantes pour qu'elles simulent et puis renvoient l'un des deux messages : « le joueur a gagné » ou « le joueur a perdu ».
ééééè
  1. a) Donner, pour tout entier naturel supérieur ou égal à , la valeur de .
    b) Donner, pour tout entier naturel supérieur ou égal à , la valeur de .
    c) Déterminer lorsque appartient à .
    d) Déterminer lorsque appartient à .
  2. a) Justifier que .
En admettant que l'on peut scinder la somme précédente selon la parité de , montrer que :
b) En déduire que: .
5) a) Montrer que .
b) Montrer que .
c) En déduire que : .
6) a) Trouver trois constantes réelles et telles que, pour tout différent de 1 et de -1 , on ait :
b) Écrire explicitement en fonction de .
c) En déduire que .

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