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BCE Maths appliquees EDHEC ECE 2011

Epreuve de maths appliquees - ECE 2011

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Probabilités finies, discrètes et dénombrementProbabilités continuesIntégrales généraliséesAlgèbre linéaireRéductionInformatique
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Banque
BCE
Année
2011
Filière
ECE
Matière
Mathématiques
Annales BCE ECE MathématiquesBCE ECE 2011ECE MathématiquesMathématiques 2011

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Description

Annale de maths appliquees BCE EDHEC pour la filiere ECE, session 2011.

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Code épreuve :

298

298

ECOLE DE HAUTES ETUDES COMMERCIALES DU NORD

Concours d'admission sur classes préparatoires

MATHEMATIQUES
Option économique

Vendredi 6 mai 2011 de 8h à 12h

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document ; seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.

Exercice 1

On considère la fonction définie sur par : si et .
  1. a) Montrer que : .
    b) Établir alors que, pour tout réel strictement positif, on a : .
    c) En déduire que la fonction est continue (à droite) en 0 .
  2. a) Montrer que est de classe sur , puis vérifier que, pour tout réel strictement positif, on peut écrire : , où est une fonction que l'on déterminera.
    b) Étudier les variations, puis le signe de la fonction . En déduire que est décroissante sur .
  3. a) Montrer que, pour tout réel positif, on a : .
    b) En déduire la limite de lorsque tend vers .

Exercice 2

On désigne par l'espace vectoriel des fonctions polynomiales de degré inférieur ou égal à 2 et on note la base ( ) de , où pour tout réel , on a : et .
On considère l'application, notée , qui à toute fonction polynomiale appartenant à , associe la fonction polynomiale définie par :
  1. a) Montrer que est une application linéaire.
    b) En écrivant, pour tout réel , définir explicitement puis en déduire que est un endomorphisme de .
    c) Écrire , et comme des combinaisons linéaires de et , puis en déduire la matrice de dans la base .
  2. a) Vérifier que et donner la dimension de .
    b) Déterminer .
  3. a) À l'aide de la méthode du pivot de Gauss, déterminer les valeurs propres de .
    b) En déduire que est diagonalisable et donner les sous-espaces propres de .
    c) Vérifier que les sous-espaces propres de , autres que , sont inclus dans .

Exercice 3

On désigne par un entier naturel supérieur ou égal à 2 . On dispose de urnes, numérotées de 1 à , contenant chacune boules. On répète épreuves, chacune consistant à choisir une urne au hasard et à en extraire une boule au hasard. On suppose que les choix des urnes sont indépendants les uns des autres.
Pour tout de , on note la variable aléatoire prenant la valeur 1 si l'urne numérotée contient toujours boules au bout de ces épreuves, et qui prend la valeur 0 sinon.
  1. a) Pour tout et pour tout , éléments de , on note l'événement « l'urne numéro est choisie à la è épreuve ».
    Écrire l'événement ( ) à l'aide de certains des événements , puis montrer que :
b) Justifier également que, si et sont deux entiers distincts, éléments de , on a:
c) Comparer et et en déduire que, si et sont deux entiers naturels distincts, éléments de , alors les variables aléatoires et ne sont pas indépendantes.
2) On pose
a) Déterminer l'espérance de , notée .
b) En déduire et donner un équivalent de lorsque est au voisinage de .
3) Pour tout de , on note la variable aléatoire égale au nombre de boules manquantes dans l'urne numérotée à la fin de ces épreuves.
a) Donner sans calcul la loi de ainsi que la valeur de .
b) Que vaut le produit ?
c) Les variables et sont-elles indépendantes?
4) Compléter le programme informatique suivant pour qu'il simule l'expérience décrite au début de cet exercice et affiche les valeurs prises par et pour une valeur de entrée par l'utilisateur.
Program edhec_2011 ;
Var x1, n1, n, k, tirage, hasard : integer;
Begin
Randomize ;
Writeln('donnez un entier naturel n supérieur ou égal à 2');
Readln(n);
n1:=0;x1:=1;
For k:= 1 to n do
    begin
    hasard:= random(n)+1;
    If hasard = 1 then begin x1:= __-_---; n1: , __-_-_-_ ; end ;
    end ;
Writeln(x1,n1);
End.

Problème

Notations et objectifs

On considère deux variables aléatoires et , définies sur un espace probabilisé ( ), et indépendantes.
On suppose que est une variable à densité et on note sa fonction de répartition.
On suppose par ailleurs que la loi de est donnée par : .
L'indépendance de et se traduit par les égalités suivantes, valables pour tout réel :
On pose et on admet que est, elle aussi, une variable aléatoire définie sur ( ).
On se propose d'établir deux résultats utiles pour la suite dans la partie 1, puis d'en déduire la loi de la variable aléatoire en fonction de la loi de dans les parties 2 et 3 .

Partie 1 : expression de la fonction de répartition de en fonction de celle de .

  1. Rappeler l'expression des fonctions de répartition d'une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur (avec ) et d'une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre (avec ).
  2. En utilisant le système complet d'événements , montrer que la fonction de répartition de la variable aléatoire est donnée par :

Partie 2 : étude de deux premiers exemples

  1. On suppose que la loi de est la loi normale centrée réduite. Reconnaître la loi de .
  2. On suppose que la loi de est la loi uniforme sur .
    a) Déterminer l'expression de selon les valeurs prises par .
    b) Déterminer pour tout réel , puis reconnaître la loi de .

Partie 3 : étude du cas où la loi de X est la loi exponentielle de paramètre 1.

  1. a) Montrer que la fonction de répartition de la variable aléatoire est définie par :
b) En déduire que est une variable aléatoire à densité.
c) Établir alors qu'une densité de est la fonction définie pour tout réel par :
  1. a) Donner la valeur de l'intégrale .
    b) Montrer que est une fonction paire et en déduire l'existence et la valeur de .
  2. a) Donner la valeur de l'intégrale .
    b) En déduire l'existence et la valeur de , puis donner la valeur de la variance de .
  3. a) Déterminer et comparer avec . Quel résultat retrouve-t-on ainsi ?
    b) Exprimer en fonction de , puis en déduire de nouveau la variance de .
  4. Soit et des variables aléatoires suivant respectivement la loi de Bernoulli de paramètre et la loi uniforme sur [ 0,1 [.
    a) On pose et on admet que est une variable aléatoire. Déterminer la fonction de répartition de et en déduire la loi suivie par la variable aléatoire .
    b) On pose et on admet que est une variable aléatoire. Déterminer et donner la loi suivie par la variable aléatoire .
    c) Informatique.
En tenant compte des résultats des questions 5a) et 5b), écrire en Turbo Pascal une déclaration de fonction dont l'en-tête est function : real ; pour qu'elle simule la loi de .

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