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BCE Maths appliquees EDHEC ECE 2008

Epreuve de maths appliquees - ECE 2008

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Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Probabilités finies, discrètes et dénombrementIntégrales généraliséesAlgèbre linéaireRéductionSuites et séries de fonctions
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Banque
BCE
Année
2008
Filière
ECE
Matière
Mathématiques
Annales BCE ECE MathématiquesBCE ECE 2008ECE MathématiquesMathématiques 2008

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Description

Annale de maths appliquees BCE EDHEC pour la filiere ECE, session 2008.

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Version HTML avec rendu des formules, intégrée sur la page canonique.

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Concours EDHEC
Mai 2008
Classes Préparatoires

MATHEMATIQUES

Option économique

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document ; seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.

Exercice 1

Pour tout entier naturel non nul, on définit la fonction par : .
On appelle ( ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé ( ) d'unité 5 cm .
  1. a) Déterminer, pour tout réel et .
    b) En déduire que la fonction est strictement croissante sur .
  2. a) Calculer ainsi que .
    b) Montrer que les droites ( ) et ( ) d'équations et sont asymptotes de .
    c) Déterminer les coordonnées du seul point d'inflexion, noté , de ( ).
    d) Donner l'équation de la tangente ( ) à la courbe ( ) en puis tracer sur un même dessin les droites ( ), ( ) et ( ) ainsi que l'allure de la courbe ( ).
  3. a) Montrer que l'équation possède une seule solution sur , notée .
    b) Montrer que l'on a: .
    c) En déduire la limite de la suite ( ).
    d) En revenant à la définition de , montrer que .

Exercice 2

On considère un endomorphisme de dont la matrice dans la base canonique de est la matrice .
  1. a) Déterminer la matrice et en déduire les seules valeurs propres possibles de .
    b) On considère les vecteurs et .
Déterminer et puis en déduire les valeurs propres de .
c) L'endomorphisme est-il un automorphisme de ?
2 ) On considère le vecteur .
a) Montrer que ( ) est une base de .
b) Exprimer comme combinaison linéaire de et puis vérifier que la matrice de dans la base est .
c) Montrer que n'est pas diagonalisable.
3) a) On pose , où et
Déterminer puis utiliser la formule du binôme pour montrer que, pour tout entier naturel non nul, on a .
b) Donner explicitement, pour tout entier naturel non nul, la matrice en fonction de .
c) Proposer une matrice telle que puis déterminer .
d) Montrer que, pour tout entier naturel non nul, on a :
e) Déterminer explicitement pour tout entier supérieur ou égal à 1 .

Exercice 3

  1. Montrer que l'intégrale est convergente et donner sa valeur.
  2. On considère la fonction définie par : .
    a) Montrer que est paire.
    b) Montrer que peut être considérée comme une fonction densité de probabilité.
Dans la suite, on considère une variable aléatoire , définie sur un espace probabilisé ( , ), et admettant comme densité. On note la fonction de répartition de .
3) On pose et on admet que est une variable aléatoire à densité, elle aussi définie sur l'espace probabilisé ( ).
a) Déterminer .
b) Exprimer la fonction de répartition de à l'aide de .
c) En déduire que admet pour densité la fonction définie par :
d) Montrer enfin que suit une loi exponentielle dont on déterminera le paramètre.

Problème

Partie 1 : préliminaires

  1. Soit une fonction de classe sur . On se propose, dans cette question, de démontrer un résultat classique sur les sommes de Riemann associées à cette fonction.
    a) Montrer qu'il existe un réel strictement positif tel que, pour tout couple ( ) d'éléments de , on a : .
    b) En déduire que : .
    c) Montrer alors que : .
    d) En sommant la relation précédente, établir que : .
    e) Conclure finalement que .
  2. Pour tout couple d'entiers naturels, on pose .
    a) Montrer que : .
    b) En déduire que : .
    c) Déterminer et montrer finalement que : .
  3. Informatique.
Compléter la déclaration récursive suivante afin qu'elle permette le calcul de :
Function i( : integer) : real ;
Begin
If then ------ else ------ ;
End ;

Partie 2 : étude d'une suite de variables aléatoires

Dans cette partie, est un entier naturel fixé, supérieur ou égal à 2 .
On considère une suite de variables aléatoires , toutes définies sur le même espace probabilisé ( ), telles que, pour tout entier naturel supérieur ou égal à suit la loi uniforme sur .
On considère également une suite de variables aléatoires , définies elles aussi sur , ), et telles que, pour tout entier naturel supérieur ou égal à 1 , et pour tout de , la loi de conditionnellement à l'événement ( ) est la loi binomiale ).
  1. On considère une variable aléatoire suivant la loi binomiale . Rappeler la valeur de l'espérance de puis montrer que .
  2. Donner la loi de .
Dans toute la suite, on suppose supérieur ou égal à 2 .
3) a) Déterminer , puis montrer que, pour tout de , on a :
b) Utiliser la première question de cette partie pour donner sans calcul la valeur de la somme . Montrer alors que l'espérance de est égale à .
c) En utilisant toujours la première question de cette partie, donner sans calcul la valeur de la somme .
Montrer alors que l'espérance de est égale à .
d) En déduire finalement que la variance de est égale à .
4) a) En utilisant les résultats obtenus aux deux premières questions de la première partie, calculer, pour tout de .
b) En déduire que la suite ( ) converge en loi vers une variable aléatoire dont on précisera la loi.
c) Vérifier que et .

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