CONCOURS D'ADMISSION 2010
filière PC

(Durée : 4 heures)

L'utilisation des calculatrices est interdite pour cette épreuve.
Pour les applications numériques, on se contentera d'un seul chiffre significatif.

Ce problème étudie quelques aspects de la formation des planètes et de leur refroidissement.

Les planètes telluriques telles que Mars ou la Terre se sont formées par la condensation de nuages de poussières sous l'effet de l'interaction gravitationnelle, au cours d'un processus dit d'accrétion.

I.1.1. Une planète supposée ponctuelle et de masse est immobile dans le vide à l'origine d'un référentiel galiléen. Un point matériel de masse arrive de l'infini avec une vitesse initiale , de norme . On définit , où est le moment cinétique en de la masse . Donner l'interprétation géométrique de à l'aide d'un schéma.
I.1.2. Les deux masses interagissent sous l'effet de la gravitation. On note la constante newtonienne de gravitation. On suppose , de telle sorte que la masse reste pratiquement immobile. Quelle est la nature de la trajectoire de la masse ? On note sa distance minimale d'approche à l'origine. Exprimer en fonction de et .
I.1.3. On considère maintenant le cas où la planète de masse n'est plus ponctuelle mais est assimilée à une sphère homogène de rayon . Exprimer la vitesse de libération en fonction de et . Montrer que la masse arrivant de l'infini heurte la planète si

I.1.4. On suppose que l'univers entourant la planète est constitué, à grande distance de celle-ci, d'un grand nombre de points matériels de masse , répartis aléatoirement et ayant tous la même vitesse . On note la densité volumique de points matériels (nombre par unité de volume). Exprimer le nombre moyen de points matériels heurtant la surface de la planète par unité de temps en fonction de et .
I.1.5. On suppose que les points matériels heurtant la planète s'y écrasent, augmentant ainsi sa masse . On suppose également que la planète reste sphérique, de masse volumique constante, de telle sorte que son rayon augmente. Donner l'expression de la vitesse d'accrétion en fonction de et . Analyser l'évolution de pour puis . Expliquer pourquoi on parle, pour ce processus, de focalisation gravitationnelle ainsi que d'accrétion galopante.
I.1.6. On considère maintenant deux planètes immobiles de masses et , à grande distance l'une de l'autre, de même masse volumique et subissant toutes deux le processus d'accrétion décrit ci-dessus. On suppose initialement. Montrer que dans le cas de l'accrétion galopante, le rapport augmente au cours du temps. Commenter.

I.2.1. L'hémisphère nord de Mars présente une vaste dépression, qui pourrait résulter d'une collision avec un gros astéroïde. Calculer l'élévation globale moyenne de température résultant de la collision avec un astéroïde de rayon et de masse volumique , arrivant de l'infini avec une vitesse initiale que l'on prendra nulle. La vitesse de libération de Mars est , sa masse . On supposera que la capacité thermique massique de Mars est constante, , et que toute l'énergie cinétique de l'astéroïde est absorbée par Mars lors de la collision.
I.2.2. Expliquer pourquoi l'accrétion étudiée dans la partie I. 1 s'accompagne nécessairement d'une élévation de température importante. Quel mode de transfert thermique permet d'évacuer une partie de l'énergie interne?

La Terre est constituée pour deux tiers de sa masse de matériaux légers tels que les silicates, de masse volumique , et pour le tiers restant de matériaux lourds tels que le fer, de masse volumique . On prendra pour les applications numériques les valeurs approchées et . La température initiale de la Terre est élevée, et son intérieur est partiellement fondu.
I.3.1. On assimile pour le moment la Terre à une sphère homogène de rayon et de masse volumique moyenne . Exprimer l'intensité du champ de gravitation à une distance du centre de la Terre en fonction de et de sa valeur à la surface .
I.3.2. On considère une petite bille de fer de volume et de masse volumique à la distance du centre de la Terre. La bille est immergée dans le liquide de masse volumique . Calculer la résultante des forces s'exerçant sur la bille. En déduire la variation
d'énergie potentielle du système lorsqu'elle tombe depuis la surface jusqu'au centre de la Terre. La calculer numériquement pour une mole de fer de masse . On donne , . Comparer la variation d'énergie potentielle à l'ordre de grandeur caractéristique d'une enthalpie de réaction chimique.
I.3.3. Les matériaux les plus denses ont tendance à s'enfoncer vers le centre alors que les matériaux moins denses migrent vers la surface. Ce processus conduit à la différenciation du globe terrestre en un manteau externe, constitué des espèces les plus légères et recouvert d'une fine écorce, et un noyau interne, constitué des espèces plus lourdes. Calculer le rayon du noyau. Que peut-on dire, qualitativement, de la distribution de température dans le noyau à l'issue du processus de différenciation planétaire?

On suppose dans cette partie que le manteau terrestre est indéformable. Le seul mécanisme par lequel il peut évacuer son énergie interne est donc la diffusion thermique. On suppose pour simplifier que le manteau est homogène et que sa température au temps initial est uniforme, de valeur (valeur actuelle de la température à la limite entre le manteau et le noyau). On suppose également qu'un mécanisme externe maintient la température de surface constante pour , avec . On admet enfin (ce qu'on justifiera par la suite) que la courbure de la planète est négligeable. Sa surface est par conséquent assimilée au plan d'équation , où est la profondeur comptée positivement à partir de la surface.
II.1. On suppose que la température ne dépend que de la profondeur et du temps . Écrire l'équation aux dérivées partielles régissant l'évolution de la température pour et . Cette équation fait apparaître un coefficient , dit coefficient de diffusivité thermique, dont on donne la valeur numérique .
II.2. On cherche une solution de cette équation de la forme , où . Écrire l'équation différentielle que doit vérifier . Vérifier que la solution générale de cette équation est

où et sont des constantes d'intégration.
II.3. On donne l'intégrale . Déterminer les expressions de et en fonction de et .
II.4. Donner l'expression du gradient de température en , dit gradient géothermique, à l'instant .
II.5. Les mesures actuelles de la température dans le sous-sol donnent un gradient géothermique de . En déduire que l'approximation qui consiste à négliger la courbure de la Terre est justifiée. Estimer numériquement l'âge de la Terre, en années, suivant ce modèle. Une année vaut approximativement . Le résultat obtenu vous paraît-il satisfaisant?

Le modèle de la partie précédente est incomplet pour deux raisons. D'une part, le manteau terrestre se comporte comme un fluide très visqueux, qui peut évacuer la chaleur par convection. D'autre part, la radioactivité constitue une source importante d'énergie, qui ne peut être négligée.

Dans cette partie, on se propose de modéliser le phénomène de convection dans le manteau terrestre. On modélise celui-ci comme un fluide contenu entre les plans et . Comme dans la partie précédente, désigne la profondeur comptée à partir de la surface. Le champ de vitesses eulérien du fluide satisfait l'équation de Navier-Stokes

où désigne la dérivée particulaire, la masse volumique du fluide, supposée ne dépendre que de la température, sa pression, le champ de gravitation, supposé constant et uniforme, la viscosité cinématique du fluide, et l'opérateur laplacien.

On admet que l'équation d'évolution de la température dans le fluide est donnée par l'équation de la diffusion thermique, dans laquelle on remplace la dérivée par la dérivée particulaire . Comme dans la partie II, on note le coefficient de diffusivité thermique, supposé constant et uniforme.

On modélise dans un premier temps le chauffage du manteau terrestre par le noyau. On note la température en et la température en , supposées constantes, avec .
III.1.1. Montrer que ces équations admettent une solution statique avec . On notera et les valeurs de et pour cette solution. Déterminer et dessiner le profil de température.
III.1.2. Pour déterminer si la solution statique est stable, on étudie l'évolution au cours du temps d'une petite perturbation. On pose , , et on traite et la vitesse du fluide comme des perturbations du premier ordre. On suppose que la masse volumique ne dépend que de la température, et on note le coefficient de dilatation thermique, supposé indépendant de dans la gamme de température considérée. Linéariser l'équation de Navier-Stokes et l'équation de la diffusion thermique. Vérifier qu'elles se mettent sous la forme

où est une constante dont on donnera l'expression. Expliquer quels sont, dans le membre de droite de ces équations, les termes qui favorisent la convection et ceux qui s'y opposent.

III.1.3. La résolution complète de ces équations linéarisées, auxquelles il faudrait ajouter la conservation de la masse, est complexe et montre que des rouleaux de convection, représentés sur la figure 1, peuvent apparaître sous certaines conditions. Nous allons nous contenter d'une solution simplifiée qui est correcte au milieu du manteau, au voisinage de . On admet que le champ de vitesses y est principalement vertical, , et on cherche une solution ne dépendant que de et de la forme, en notation complexe

où et sont des amplitudes complexes, et et sont réels. En insérant les trois relations ci-dessus dans les équations obtenues à la question III.1.2, obtenir la relation entre et pour que le système ait des solutions non nulles.
III.1.4. On cherche la condition sous laquelle peuvent apparaître des rouleaux de convection cylindriques (voir figure 1), qui correspondent à la valeur . Montrer que pour cette valeur de , la solution statique est instable si le nombre de Rayleigh, défini par , est supérieur à un seuil qu'on précisera.
III.1.5. On donne les valeurs numériques , . Comparer la valeur de à son ordre de grandeur pour un liquide ordinaire. Calculer le nombre de Rayleigh et montrer que la convection dans le manteau est possible. Quelle caractéristique de ce système compense sa grande viscosité?

On étudie maintenant le chauffage du manteau terrestre par la radioactivité interne. On note la puissance par unité de masse dégagée par les désintégrations radioactives dans le manteau terrestre, supposée constante et uniforme. On néglige le chauffage par le noyau, et on considère par conséquent qu'il n'y a pas de transfert thermique à travers le plan . Comme précédemment, on note la température en , supposée constante.
III.2.1. Comment est modifiée l'équation de la diffusion thermique en présence de la source de chaleur? On notera la capacité thermique massique, supposée constante. Déterminer la solution statique de cette équation en tenant compte des nouvelles conditions aux limites. Dessiner le profil de température.
III.2.2 Comme dans la partie III.1., on étudie l'évolution d'une petite perturbation autour de cette solution statique. Montrer que les équations obtenues à la question III.1.2 sont toujours valables, à ceci près que est une fonction de . Exprimer la valeur de au milieu du manteau en fonction de et .
III.2.3. Calculer numériquement le nombre de Rayleigh associé au chauffage interne. On donne et . Le chauffage interne suffit-il à produire de la convection?
III.2.4. La réaction radioactive la plus importante est la désintégration du noyau , qui a une demi-vie d'environ années. Que peut-on en conclure sur l'importance de la convection au début de l'histoire du globe terrestre?

III.3.1. Des deux mécanismes de chauffage étudiés, lequel vous semble le plus important?
III.3.2. La convection dans le manteau transporte l'énergie thermique depuis le noyau vers les couches supérieures du manteau, à des profondeurs d'environ 30 km , où la température est voisine de 1000 K . La convection conduit-elle à un gradient géothermique plus grand ou plus petit que la conduction thermique seule, étudiée dans la partie II?