ÉCOLE POLYTECHNIQUE
ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET CHIMIE INDUSTRIELLES

CONCOURS D'ADMISSION 2005
filière PC

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.

Le problème analyse le principe du piégeage dans une région restreinte de l'espace de molécules qui possèdent un moment dipolaire électrique, en utilisant l'interaction avec un champ électrostatique inhomogène. De tels pièges permettent l'étude des collisions moléculaires ainsi que la construction de faisceaux moléculaires utilisés en nanolithographie et pour la réalisation de dépôts de surface.

On étudie la possibilité de guider le mouvement de molécules polaires avec un système électrostatique formé de six électrodes cylindriques et parallèles disposées aux sommets d'un hexagone régulier auquel elles sont orthogonales (figure 1).

Leur rayon est très inférieur au côté de l'hexagone, . Elles portent des densités linéiques de charge égales alternativement à pour les électrodes impaires et pour les paires; on considèrera que ces charges sont fixes et uniformément réparties à leur surface. On négligera les effets d'extrémités, l'ensemble pouvant être considéré comme invariant par translation selon l'axe central du système. On utilisera un système de coordonnées cylindriques ( ) avec comme repère orthonormé ( ).

a) Quelles conclusions sur le champ et le potentiel électrostatique tire-t-on de l'invariance par translation du système?
b) Considérer la symétrie par rapport à un plan perpendiculaire à l'axe. Quelle propriété du champ électrique en déduit-on?
c) Même question pour l'un des trois plans passant par l'axe central et les axes de deux électrodes opposées.
d) Montrer que les trois plans passant par l'axe et à égale distance des électrodes sont équipotentiels.
e) Quelle est la période angulaire d'invariance du système par rotation autour de l'axe ? En déduire une expression générale du potentiel sous forme d'une série.
2. Soit une électrode de densité linéique de charge . Déterminer le champ électrostatique créé par cette électrode en un point à l'aide de la distance de ce point à son axe ( ). En déduire une expression du potentiel électrostatique correspondant.
3. On considère maintenant l'ensemble des électrodes du système. Montrer que, en le choisis-
sant nul sur l'axe central, le potentiel électrostatique en un point est donné par l'expression :

où désigne la distance de à l'axe de l'électrode .
4. Pour expliciter le potentiel en fonction des coordonnées de , il est commode de considérer le plan comme plan de représentation des nombres complexes. Le point y est repéré par , les axes des électrodes impaires le sont par ( ) et ceux des électrodes paires par ( ), avec racine cubique de l'unité. Montrer que :

Montrer que le potentiel électrostatique dans la partie centrale de l'hexapôle s'exprime simplement en fonction de cette capacité linéique et de la tension .
8. Application numérique. Calculer la capacité électrostatique par unité de longueur d'un hexapôle ayant et .

Dans cette partie, on analyse le mouvement de molécules, possédant un moment dipolaire permanent , dans le champ électrique de l'hexapôle électrostatique étudié en partie I. Dans le vide, les molécules, libres de tourner, ont un mouvement de rotation; l'énergie et le moment cinétique correspondant sont quantifiés. Seul compte, pour le couplage avec le champ électrique, la projection du moment dipolaire sur la direction du champ électrique; est une constante positive, négative ou nulle, donnée pour chaque état moléculaire.

À quelle condition sur le signe de le mouvement est-il périodique? Quelle est alors la fréquence angulaire correspondante ? Quel est le mouvement des molécules ayant de signe contraire?
4. Résoudre cette équation différentielle pour un mouvement périodique d'une molécule située à l'instant sur l'axe central et ayant une vitesse .

Un jet moléculaire effusif est généré à partir d'une enceinte contenant gazeux, à température , munie d'un orifice de sortie. Le jet est collimaté par un diaphragme de petit diamètre donnant pour direction moyenne du jet celle de l'axe central de l'hexapôle.
5. Montrer que l'hexapôle permet de refocaliser les molécules, en opérant une sélection selon le moment dipolaire. Préciser la distance de première refocalisation.
6. Dans un tel jet, la distribution des vitesses est donnée par l'expression , où est le nombre de molécules qui ont le module de leur vitesse entre et et un facteur ne dépendant que de la température.

Établir l'expression de la vitesse la plus probable du jet. La comparer à la vitesse quadratique moyenne dans l'enceinte.
7. Application numérique. On donne et . On analyse le mouvement des molécules ayant un moment dipolaire .
a) Calculer .
b) Calculer la position du premier point où les molécules, ayant la vitesse la plus probable du jet, sont refocalisées sur l'axe .

Pour stocker des molécules polaires dans une région limitée de l'espace, on modifie l'hexapôle étudié auparavant en courbant les électrodes pour les transformer en tores, tous de même axe (figure 2) ; l'axe central de l'hexapôle est devenu un cercle de rayon , et dans un plan méridien passant par , les électrodes gardent la même position relative, aux sommets d'un hexagone régulier de côté . Lorsque le rayon du tore est très grand par rapport au rayon de l'hexapôle , on admettra qu'il n'y a pas, au voisinage du cercle central, de distorsion significative du champ électrostatique par rapport au cas linéaire étudié en partie II. Pour confiner le mouvement des molécules dans la région centrale du potentiel électrostatique, on interpose un diaphragme vertical, centré sur la circonférence du tore, qui laisse passer les molécules à travers un trou de rayon .

On utilise un système de coordonnées cylindriques .

Expliciter en coordonnées cylindriques l'énergie mécanique totale des molécules et montrer qu'elle est la somme de deux termes reliés respectivement au mouvement radial et angulaire et au mouvement selon . Montrer que chacun de ces deux termes se conserve.
3. On analyse le mouvement des molécules qui suivent des trajectoires circulaires dans le plan .
a) Comparer à et commenter le résultat obtenu.
b) Exprimer la vitesse radiale en fonction du rayon de la trajectoire.
c) Application numérique. On considère un anneau de stockage avec les caractéristiques suivantes : rayon moyen , rayon de l'hexapôle et rayon des électrodes . Les électrodes sont aux potentiels avec et . Représenter graphiquement la dépendance pour les molécules qui suivent des trajectoires circulaires dans ce système. En déduire la valeur maximale de la vitesse pour laquelle le mouvement reste confiné à l'intérieur du tube torique de rayon pour .
4. On analyse le mouvement des particules décrivant une trajectoire sur la surface cylindrique .
a) Déterminer pour les conditions initiales et .
b) Estimer la valeur maximale de la vitesse pour laquelle le mouvement reste confiné à l'intérieur du tube torique de rayon . Représenter graphiquement la dépendance en employant les valeurs données en 3.c).
5. On analyse le mouvement des molécules dans le plan . Les molécules sont injectées au centre de l'anneau avec une vitesse initiale , où est inférieure à déterminé en 3.c).
a) Montrer que l'énergie mécanique des molécules peut se mettre sous la forme , où le dernier terme correspond à une énergie potentielle effective à expliciter.
b) Montrer, en utilisant une représentation graphique, que le mouvement radial est contenu dans un intervalle .
c) Calculer la valeur maximale de la vitesse radiale pour laquelle le mouvement reste confiné à l'intérieur du tube torique de rayon pour une vitesse donnée. Montrer que cela impose également une condition sur la valeur maximale plus stricte que celle déterminée en 3.c).
d) Application numérique. Représenter graphiquement la dépendance en utilisant les valeurs de 3.c).
6. Afin de remplir l'anneau de stockage des molécules, on utilise un jet moléculaire effusif dont l'axe de propagation est tangent à la circonférence du tore qui n'est pas sous tension initialement. Le jet est d'abord collimaté, puis un hexapôle linéaire le focalise sur la circonférence du tore. Le jet est périodiquement haché, et lorsque un paquet de molécules arrive sur la circonférence du tore, on applique les tensions de stockage .
a) Expliquer l'effet du diaphragme de rayon sur la distribution de vitesses du jet et son intérêt pour ce dispositif expérimental.
b) Estimer à partir de II. 7 et III.5.c), la probabilité pour qu'une molécule ayant un moment dipolaire effectif donné soit stockée dans l'anneau. Évoquer quelques possibilités pour augmenter cette probabilité.