ÉCOLE POLYTECHNIQUE

ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET CHIMIE INDUSTRIELLES

PREMIÈRE COMPOSITION DE PHYSIQUE

La matière noire dans l'univers

Données numériques

Formulaire

I. Modélisation d'une galaxie spirale

1. Considérons d'abord le cas limite où .
   a) Donner l'expression simplifiée du potentiel gravitationnel que l'on notera .
   b) Montrer qu'en tout point ( ) avec , le potentiel est équivalent à celui engendré en ce même point par une masse ponctuelle placée en . Que peut-on en conclure en ce qui concerne la valeur de la densité de masse en tout point du demi espace ?
   c) A quel système simple est équivalent le potentiel en tout point avec ?
   d) Où se trouve localisée la masse correspondant à . Préciser, sans calcul, la forme des courbes isodensité et caractériser la forme générale de la galaxie.
2. Considérons à présent le cas où .
   a) Donner, en fonction de et , l'expression simplifiée du potentiel gravitationnel que l'on notera .
   b) En déduire la forme des surfaces isodensité et caractériser la forme générale de la galaxie dans ce cas.
3. Décrire schématiquement, dans un plan contenant , l'évolution des courbes d'isodensité lorsque le rapport varie. Illustrer graphiquement le cas où et celui où .
4. Une galaxie spirale peut être décrite par un disque fin présentant un renflement en son centre; les «bras » en spirale de la galaxie correspondent à de petites surdensités locales qui seront négligées. On admettra que le potentiel est apte à décrire la distribution de masse visible d'une telle galaxie.

II. Rotation d'une galaxie spirale

1. La plupart des étoiles de la galaxie se déplacent selon des orbites circulaires dans le plan équatorial de la galaxie.
   a) Pour une orbite de rayon , déterminer la valeur de la vitesse de l'étoile en fonction de , a et . Quelle est la forme asymptotique de quand tend vers l'infini?
   b) Exprimer en fonction de et de la distance à laquelle est maximale.
2. Application numérique. On donne pour une galaxie typique , .
   a) Calculer la vitesse à la distance du centre.
   b) Calculer la vitesse maximale .
   c) Illustrer graphiquement l'allure de .

III. Mesure expérimentale de la rotation d'une galaxie

1. La galaxie est assimilée à un disque mince à symétrie axiale, dont la normale au plan fait un angle avec la direction de visée (figure 1).
   a) Comment peut être déterminée expérimentalement l'inclinaison de la galaxie?
   b) Exprimer en fonction de et la composante de la vitesse de rotation selon la ligne de visée orientée de la galaxie vers l'observateur.

Figure 1. Dans le plan de la galaxie, l'angle a pour origine la direction de ce plan orthogonale à la direction de visée , l'axe étant la projection de sur ce plan.

2. Lorsqu'une source émettant une onde électromagnétique de célérité et de longueur d'onde se rapproche d'un observateur à la vitesse le long de sa direction de visée, ce dernier mesure une longueur d'onde décalée (effet Doppler) donnée par : au premier ordre en .
   a) Un observateur mesure les longueurs d'onde et de la raie d'émission de l'hydrogène neutre émise en deux points diamétralement opposés de la galaxie. Exprimer en fonction de et (la longueur d'onde de la raie à l'émission) le décalage spectral observé. Pour quel diamètre est-il maximal?
   b) Quelles sont les inclinaisons de galaxies défavorables à cette mesure?
3. La plupart des galaxies pour lesquelles la mesure a pu être effectuée ont une loi qui est en accord avec les prédictions de la partie II dans les régions centrales de la galaxie, mais qui tend vers une valeur constante au-delà de quelques kiloparsecs du centre, correspondant à .
   a) Dans ce domaine , en supposant sa distribution à symétrie sphérique et en utilisant les résultats de la partie II, déterminer la dépendance en de la masse contenue dans la sphère de rayon , qui permet d'interpréter l'existence d'une vitesse constante ; en quoi cela justifie-t-il l'existence de matière noire au sein des galaxies?
   b) En considérant la galaxie constituée de deux composantes massiques, l'une visible (disque lumineux ) et l'autre sombre (halo ), exprimer la vitesse résultante en fonction des vitesses et que donnerait chacune des composantes prises individuellement.
   c) Le halo, supposé à symétrie sphérique, peut être modélisé par une distribution de matière de la forme où et sont des paramètres. Justifier la dépendance à
   grande distance en de la densité de masse totale . Établir l'expression de en fonction de et . En déduire que . Quel est l'intérêt de l'introduction de la constante ?
   d) Exprimer en fonction de et .
4. Application numérique : .
   a) Les méthodes d'observation ne fournissent aucune donnée au-delà de , distance pour laquelle . En déduire une limite inférieure de la masse totale de la galaxie et une limite supérieure à la fraction massique d'étoiles au sein de la galaxie.
   b) Calculer et à et à du centre de la galaxie. Dessiner schématiquement les courbes due au disque, due au halo ainsi que la courbe .
5. Une dizaine de points de mesure régulièrement espacés le long d'un diamètre de la galaxie sont nécessaires pour estimer sa «courbe de rotation».
   a) Quelle résolution sur la mesure des longueurs d'onde des raies est nécessaire pour mesurer une vitesse de rotation de l'ordre de ?
   b) En raison de la limite due à la diffraction, quelle est la taille minimale du radiotélescope qu'il faut utiliser pour obtenir la résolution spatiale voulue sur la galaxie la plus proche dont le diamètre angulaire est de 10 minutes d'arc? Quelle technique peut être envisagée pour obtenir une telle résolution?

IV. Amas de galaxies

1. En utilisant la masse d'une galaxie typique de la partie II. 2 et en considérant qu'un amas comporte galaxies, calculer numériquement la contribution à la masse de l'amas sous forme de galaxies. C'est la masse visible de l'amas.
2. La masse gravitationnelle de l'amas peut être déduite des déterminations des vitesses des galaxies dans le champ gravitationnel de l'amas. On observe expérimentalement que le décompte des galaxies en fonction de leur vitesse croit avec celle-ci jusqu'à une coupure franche, correspondant à une vitesse maximale .
   a) En interprétant cette vitesse maximale comme une vitesse de libération, exprimer la masse gravitationnelle de l'amas en fonction de et . En donner la valeur numérique pour et .
   b) L'amas, de rayon , est constitué d'une centaine de galaxies, chacune possédant un halo de rayon externe . En prenant leur volume total égal à celui de l'amas, déterminer une limite supérieure pour ; en déduire à l'aide des résultats de III. 3 la masse totale d'une de ces galaxies. Comparer alors la somme des masses ainsi évaluées des galaxies à la masse de l'amas; qu'en concluez-vous?
3. L'ensemble de l'amas baigne dans un gaz chaud d'ions et d'électrons détecté par son émission dans le domaine des rayons X ; soit sa température. Nous allons ici évaluer la contribution de ce gaz à la masse gravitationnelle de l'amas. On désigne par la masse de l'amas contenue à l'intérieur de la sphère centrée de rayon . On admet que l'amas peut être considéré comme un fluide en équilibre (équilibre entre les forces de pression et de gravitation).
   a) Établir, entre la pression du gaz, sa masse volumique et la masse , la relation traduisant le fait que le gaz est en équilibre mécanique.
   b) En supposant que le gaz est un gaz parfait, exprimer en fonction du nombre d'électrons par unité de volume , de la constante de Boltzmann et de la température du gaz , en considérant le gaz composé uniquement d'hydrogène, entièrement ionisé à cette température.
   c) Comment s'écrit alors la relation d'équilibre mécanique en fonction de la densité électronique , la température du gaz , et la masse de l'atome d'hydrogène.
   d) La densité d'électrons suit la loi expérimentale avec une extension observée du gaz jusqu'à une distance du cœur de l'amas. En faisant l'hypothèse d'un gaz isotherme, déterminer la masse de l'amas; montrer que la masse du gaz jusqu'à la distance limite est donnée par .
   e) Application numérique. On donne et . Calculer et .
4. Discuter la cohérence des résultats de cette partie, et donner la composition en pourcentage massique d'un amas de galaxie en terme de gaz, matière lumineuse (galaxies) et matière noire.