(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

Pour un entier , on note l'espace vectoriel des matrices carrées à coefficients dans . On note la matrice transposée d'une matrice . On note la matrice identité et l'ensemble des matrices diagonales à coefficients diagonaux dans l'ensemble . On identifiera un vecteur de avec la matrice colonne à lignes correspondante, et une matrice avec l'application linéaire .

Soit une matrice de . Soit un sous-ensemble de . On note la sous-matrice obtenue en supprimant la -ème ligne et la -ème colonne de pour tout . Par convention, . On note l'ensemble des matrices dans telles que, pour toutes les parties de , les déterminants des matrices sont strictement positifs.

Soient . On note (resp., ) si pour tout resp., .

1.a) Montrer que si , alors .
1.b) Montrer que pour toute matrice , pour toute matrice diagonale et pour tout sous-ensemble de .
1.c) Montrer que pour tout et pour toute matrice diagonale .
2. Montrer que, pour tout , il existe tel que .
3. Soit .
3.a) Soit tel que . Montrer que si alors et .
3.b) Montrer que et impliquent .
3.c) Montrer qu'il existe , tel que . [On pourra distinguer les cas et .]

Soit un entier. On considère la série de fonctions d'une variable complexe ,

On identifie à en posant et , où et . On considère l'application , définie par

5.a) Montrer que l'application est de classe et préciser ses dérivées partielles que l'on pourra exprimer en fonction du nombre complexe .
5.b) Soit la matrice jacobienne de . Montrer que, pour tout .

On se propose de démontrer par récurrence sur l'entier la propriété suivante :
Si et sont tels que et , alors .
On fixe et l'on suppose que la propriété ( ) est satisfaite. Soit et tels que et .
6.a) On considère l'équation linéaire . Montrer que .
6.b) Soit la première colonne de . Montrer que et que

existe et est positif ou nul. On note un entier tel que .
6.c) On pose . Montrer que et que .
6.d) Soit et soit le vecteur obtenu à partir de en supprimant la -ème ligne. Montrer que et en déduire que .
6.e) En déduire que .
6.f) Conclure.

On se propose de démontrer par récurrence sur l'entier la propriété ( ) suivante :
Pour toute matrice orthogonale , il existe dans et une matrice diagonale tels que .

Un tel couple ( ) sera appelé une solution pour .
7. Étudier pour et pour . [Pour , on pourra supposer d'abord que est la matrice d'une rotation d'angle , et chercher un vecteur de la forme .]
8. Soient et tels que et . Montrer que si satisfait , alors . En déduire que si ( ) et ( ) sont deux solutions pour , alors .

On fixe et l'on suppose que la propriété ( ) est satisfaite. On fixe une matrice orthogonale que l'on écrit où et .
9.a) Écrire les relations entre et qui expriment que est une matrice orthogonale. Montrer que .
9.b) Lorsque , montrer que est orthogonale et construire une solution pour à partir d'une solution pour .

On suppose désormais que et l'on pose et .
10. Démontrer que et sont orthogonales.
11. Soit (resp., ) une solution pour (resp., ).
11.a) Montrer que

où est une constante positive que l'on déterminera en fonction de .
11.b) On suppose que . Montrer que les réels et sont non nuls et de même signe. Montrer que l'on peut construire une solution ( ) pour telle que est l'un des vecteurs ou .
11.c) On suppose que . Montrer que l'un des réels ou est nul. En déduire qu'il existe une matrice et un vecteur tel que pour satisfaisant .
11.d) On suppose encore que . Montrer qu'il existe une matrice et un vecteur tel que pour satisfaisant .
12.a) Construire une solution pour . [On pourra considérer l'égalité et utiliser le fait que est orthogonale pour montrer que l'on peut se ramener au cas où .]
12.b) Conclure.
13. Soit une matrice antisymétrique.
13.a) Montrer que 0 est la seule valeur propre réelle de parmi toutes les valeur propres complexes. En déduire que est inversible.
13.b) On pose . Montrer que est orthogonale.
13.c) Soit ( ) une solution pour . Montrer que satisfait et .
14. Soit une matrice de . En considérant une matrice antisymétrique de adaptée, montrer qu'une des propriétés suivantes est vraie :