Montrer que possède une unique valeur propre réelle , et que est comprise entre 1 et 2 .
Soit une valeur propre complexe, non réelle, de . Calculer et comparer les réels et .
3.a) Montrer que et sont linéairement indépendants dans l'espace vectoriel .
3.b) Calculer et l'exprimer comme combinaison linéaire à coefficients entiers de et .
3.c) En déduire qu'il existe deux entiers et tels que, pour tout entier , . (Par convention et .)

Pour tout entier

, on pose

.
4.a) Pour

, calculer

.
4.b) Montrer que la suite

est périodique, et préciser sa période.
4.c) Montrer que la suite

définie par

n'est pas bornée.
5.a) Exprimer

en fonction de

.
5.b) La suite

définie par

est-elle bornée?

Dans la suite du problème, on note

la fonction périodique de période 1 qui à tout nombre réel

associe

Deuxième partie

Soient et deux nombres réels tels que . Pour , on pose .
6.a) On suppose dans cette seule question 6.a) que, pour tout de l'intervalle , on a . Montrer que .
6.b) À l'aide d'un changement de variable et d'une intégration par parties, déterminer la limite de la suite quand tend vers l'infini.
6.c) Que peut-on déduire des deux questions précédentes?

Troisième partie

7.a) Calculer les coefficients de Fourier

de la fonction

.
7.b) En déduire que, pour

, on a

On note

la somme partielle d'indice

de la série de Fourier de la fonction

.
8. Montrer que pour tout réel

et tout entier

, on a

Montrer que le réel défini dans la question n'appartient pas à . [On pourra utiliser le fait que si est un nombre rationnel positif non entier, on peut écrire comme quotient de deux entiers strictement positifs et tels qu'aucun facteur premier de ne divise .]
Soit le réel défini dans la question 1. Montrer que pour tout entier et tout entier , on a

Déduire de ce qui précède que la suite a une limite que l'on précisera.
Le résultat de la question 12 reste-t-il valable si l'on remplace par un nombre irrationnel quelconque?