Polytechnique Mathématiques PC 2006

CONCOURS D'ADMISSION 2006
filière PC

(Durée : 4 heures)

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

Les polynômes étudiés dans ce problème ont été introduits lors de recherches sur la spectroscopie multi-fentes. Ils ont donné lieu à des développements mathématiques en combinatoire, théorie des codes, analyse harmonique, et à de très nombreuses applications en optique, télécommunications, théorie des radars et acoustique.

Toute affirmation devra être soigneusement justifiée. La précision, la clarté et la concision des raisonnements seront particulièrement appréciées.

Soit un entier au moins égal à 1 . Dans ce problème, un vecteur de sera appelé séquence de longueur si chacune de ses coordonnées vaut 1 ou -1 . Les coordonnées d'une séquence de longueur seront numérotées de 0 à . On notera l'ensemble des séquences de longueur . On appellera simplement séquence, tout vecteur qui est une séquence de longueur , pour un certain entier .

On dira que des séquences et forment une paire complémentaire si elles ont même longueur (qui sera appelée dorénavant longueur de la paire) et si elles vérifient, dans le cas où , pour tout entier tel que , la -ième condition de corrélation :

Par convention, tout couple de séquences de longueur 1 est une paire complémentaire. Ainsi, pour tout entier , la complémentarité d'une paire de longueur implique conditions de corrélation.

On désigne par l'ensemble des entiers pour lesquels il existe au moins une paire complémentaire de longueur . Autrement dit, est l'ensemble des longueurs de paires complémentaires. Dans cette partie, on se propose d'étudier certaines propriétés de l'ensemble .

Soit un entier au moins égal à 1 . Pour toute séquence, , de longueur , on définit le polynôme par la formule

Un tel polynôme est appelé polynôme séquentiel.
2.a) Soient et des séquences. On considère la fonction définie pour réel, , par

Montrer que si et ne sont pas deux séquences de même longueur, cette fonction n'est pas bornée sur .

Montrer que deux séquences et de même longueur forment une paire complémentaire si et seulement si cette fonction est constante. Exprimer cette constante en fonction de la longueur de la paire complémentaire .
2.b) Montrer que si et sont des séquences de même longueur, et sont des entiers de même parité. En déduire que tout élément de peut s'écrire comme la somme de deux carrés d'entiers.
2.c) Montrer que le complémentaire de dans est un ensemble infini [on pourra étudier le reste de la division par 4 d'un carré d'entier].
3.a) Soient et des séquences de même longueur. On pose et . Montrer que et forment une paire complémentaire si et seulement si la fonction

est constante sur son domaine de définition.
3.b) Les séquences, de longueur 10,

et

forment-elles une paire complémentaire?
4. Démontrer, pour toute séquence de longueur paire , non nul), l'équivalence des assertions suivantes :
(i) 4 divise la somme ,
(ii) le nombre de coordonnées de égales à -1 a la même parité que ,
(iii) .
5. Soit , et soient et des séquences qui forment une paire complémentaire de longueur . Pour tout entier , on pose .
5.a) Montrer que, pour tout entier ,

[considérer la somme des coordonnées de la séquence .
5.b) En déduire que, pour tout entier ,

5.c) Montrer que tout élément de , est pair.

Si deux polynômes séquentiels sont associés à des séquences qui forment une paire complémentaire, on dit qu'ils forment une paire complémentaire de polynômes. Cette partie est consacrée à l'étude de certaines paires complémentaires de polynômes, dites paires de Rudin-Shapiro.

On définit deux suites de polynômes et par les conditions initiales

et les relations de récurrence

6.a) Calculer et , puis et .
6.b) Calculer les valeurs respectives de et en fonction de l'entier .
7. Démontrer que, pour tout entier positif , les polynômes et sont des polynômes séquentiels et qu'ils forment une paire complémentaire. Qu'en déduire vis-à-vis de l'appartenance des entiers de la forme , pour entier positif ou nul, à l'ensemble ?
8. Démontrer, pour tout entier positif ou nul et tout nombre complexe non nul , l'égalité

9.a) Soit un polynôme quelconque de , de degré exactement , qu'on écrit (avec non nul). Montrer que les racines de sont toutes majorées en module par la quantité .
9.b) Démontrer, pour toute valeur de l'entier , que toute racine (complexe) du polynôme vérifie

Peut-on remplacer chacune de ces deux inégalités larges par une inégalité stricte?
10.a) Montrer qu'il existe une série entière, , dont les sont des sommes partielles. Identifier son rayon de convergence.
10.b) La somme de la série a-t-elle des zéros dans le disque ouvert de rayon centré à l'origine?

L'ensemble étudié dans ce problème est encore actuellement l'objet de recherches.