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Polytechnique Mathématiques PC 2004

Polynômes unitaires de norme minimale.

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Polynômes et fractionsTopologie/EVNAlgèbre généraleAlgèbre linéaireFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)
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Banque
X-ENS
Année
2004
Filière
PC
Matière
Maths
X-ENS PCX-ENS 2004PC MathsMaths 2004
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ÉCOLE POLYTECHNIQUE

ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES

CONCOURS D'ADMISSION 2004

filière PC

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

Polynômes unitaires de norme minimale

Pour tout entier , on désigne par l'espace vectoriel complexe des polynômes à coefficients complexes de degré et par le sous-ensemble des polynômes unitaires de degré .

Première partie

Soit et soient des nombres complexes distincts. On considère le polynôme
et l'on désigne par le polynôme dérivé de .
  1. Pour tout entier , on pose
a) Montrer que cette expression définit un polynôme de degré .
b) Calculer , pour , et montrer que, pour tout polynôme , le polynôme prend la même valeur que en tous les points .
c) Montrer que .
d) Les polynômes , forment-ils une base de ?
2. Pour , on pose , où . Soient et les matrices complexes dont les éléments à la ligne ( ) et à la colonne ( ) sont et , respectivement. Montrer que est inversible, et que et sont inverses l'une de l'autre.
3.a) Montrer que . Déterminer la valeur de pour .
b) En déduire que est un polynôme constant que l'on calculera.
Dans toute la suite du problème, est un entier fixé, et est une partie compacte du plan complexe, contenant au moins éléments. On pose . Pour tout polynôme , on pose

Deuxième partie

Pour tout polynôme , défini par , on pose
4.a) Montrer que et sont des normes sur et qu'elles sont équivalentes.
b) La fonction est-elle continue sur l'espace vectoriel normé ( )?
5.a) Majorer en fonction de .
b) On choisit points distincts dans , et l'on reprend les notations de la première partie. On pose . En utilisant les résultats de la question 2., montrer que
Dans toute la suite du problème, on pose

Troisième partie

6.a) Montrer que .
b) Montrer que .
c) Montrer qu'il existe tel que .

Quatrième partie

  1. Soient et un nombre complexe non nul. Soit . On considère le polynôme
Montrer qu'il existe tel que . [On pourra considérer le module et l'argument de et de .]
8. Plus généralement, soit et soit . On suppose que et que n'est pas constant.
a) Montrer qu'il existe un entier , un nombre complexe , et un polynôme tels que
b) Montrer que, pour tout réel , il existe tel que et
c) Montrer que, pour tout réel , il existe tel que et
9.a) Montrer que la propriété démontrée à la question 8.c) est satisfaite pour tout polynôme non constant et pour tout point .
b) En déduire que, pour tout ,
c) Montrer que, pour tout ,
d) Dans cette question, on choisit . Montrer que le polynôme satisfait

Cinquième partie

  1. Soient et deux nombres complexes non nuls. Montrer que si et seulement s'il existe un réel tel que .
Pour , on pose
  1. On suppose qu'il existe des polynômes distincts et vérifiant
Pour tout , on pose
a) Montrer que, pour tout .
b) Soit et soit . Montrer que et , puis montrer que .
c) En déduire que, pour tout .
12. On suppose qu'il existe tel que et tel que .
a) Montrer qu'il existe un polynôme tel que, pour tout .
b) Soit , pour . Montrer que, pour chaque , il existe tel que .
On admettra le résultat suivant : il existe une suite strictement croissante de nombres entiers, , telle que la suite converge vers un élément de la partie compacte de , quand tend vers .
c) Montrer que . En déduire que .
d) Montrer que et , où et sont des suites de nombres complexes, définies pour assez grand, telles que et , et . En déduire que, pour assez grand, .
13. Y a-t-il unicité du polynôme tel que ?
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