ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES
DEUXIÈME COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.
Le but de ce problème est l'étude d'approximations discrètes de solutions d'équations différentielles avec conditions aux extrémités de l'intervalle de définition.
Première partie
Soit un entier fixé, . On note l'espace vectoriel des matrices carrées réelles à lignes, et la matrice identité à lignes. On note , les coefficients d'une matrice . On identifie un vecteur de , de composantes dans la base canonique, à la matrice colonne . On désigne par la norme euclidienne de .
Pour toute matrice , on pose
a) Montrer que est une norme sur .
b) Montrer que, pour toutes matrices .
Cette propriété est-elle vérifiée si l'on remplace la norme sur par la norme définie par
Soit une suite de matrices de et une matrice de . On suppose que est inversible et que .
a) Montrer que, pour assez grand, est inversible.
b) Soit . Montrer que, si est inversible,
En déduire qu'il existe un entier et un nombre indépendant de tel que, pour ,
c) Montrer que .
3. On dit qu'une matrice de possède la propriété ( ) si les trois conditions suivantes sont satisfaites
Soit une matrice qui possède la propriété et soit , de composantes .
a) Montrer que si , alors . [On considérera tel que .]
b) On suppose que a toutes ses composantes positives ou nulles. Montrer que a toutes ses composantes positives ou nulles. [On considérera tel que .]
4. Soit . On suppose que est inversible et que , où chaque est une matrice de qui possède la propriété . Montrer que les coefficients de la matrice inverse sont positifs ou nuls.
Deuxième partie
Soit une fonction à valeurs réelles, de classe sur l'intervalle .
5.a) Montrer qu'il existe une unique fonction de classe sur telle que
b) Montrer que si , alors .
c) On choisit pour la fonction constante égale à 1 . Déterminer la solution problème (1) dans ce cas.
Soit un entier, . On pose et l'on considère la subdivision de l'intervalle telle que et pour .
6.a) Soit une fonction à valeurs réelles de classe sur . Montrer que, pour tout ,
où désigne la dérivée quatrième de .
b) Que devient cette inégalité dans le cas où est la fonction trouvée à la question 5.c) ?
7. Soit , de composantes . On désigne par un vecteur de , de composantes et l'on pose .
a) Écrire sous forme matricielle le système (2) linéaire en les inconnues :
b) Montrer que, pour tout vecteur de , le produit scalaire canonique ( ) peut s'écrire comme une somme de carrés de nombres réels.
c) En déduire que la matrice est inversible.
8.a) Soit l'inverse de . Montrer que les coefficients de sont positifs ou nuls.
b) Soit le vecteur de composantes toutes égales à 1 . Déterminer les composantes de à l'aide des valeurs de la fonction trouvée à la question 5.c). En déduire que, pour tout ,
On suppose que ( ) est la solution du système (2) avec , et l'on désigne par les valeurs prises en par la solution du problème (1).
a) Donner une majoration de , valable pour tout , en fonction de et de la fonction .
b) En quel sens peut-on dire que la solution du problème linéaire (2) avec approxime la solution du problème (1)?
c) On choisit la fonction définie par .
Trouver une valeur de l'entier qui assure pour tout .
Troisième partie
Soit une fonction de classe sur comme dans la deuxième partie. Pour tout entier , on considère le problème
10.a) Montrer que, pour tout entier , il existe une unique fonction de classe sur qui est solution du problème (3).
b) Montrer que la suite de fonctions tend simplement, quand tend vers , vers une fonction de classe sur , et que est solution du problème (1) de la deuxième partie.
11. On choisit pour la fonction constante égale à 1 et l'on note la solution du problème (3) dans ce cas.
a) Déterminer .
b) Pour tout entier , étudier les variations de la fonction .
c) Montrer que, pour tout entier et pour tout .
12. On reprend les notations de la deuxième partie.
a) Montrer que pour chaque entier , le système linéaire
a une solution unique, notée . Que peut-on dire de ?
b) Soit la solution du système (4) avec . Donner une majoration de , valable pour tout , en fonction de et .
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