J-0
00m
00j
00h
00min
00s

Version interactive avec LaTeX compilé

Télécharger PDF

Polytechnique Mathématiques 2 MP 2010

Sur les sous-groupes finis de Gn(C)

Notez ce sujet en cliquant sur l'étoile
0.0(0 votes)
Algèbre linéaireAlgèbre généraleRéductionAlgèbre bilinéaire et espaces euclidiens
Logo x
🔗 Explorer
Banque
X-ENS
Année
2010
Filière
MP
Matière
Maths
X-ENS MPX-ENS 2010MP MathsMaths 2010
2025_08_29_d93664db17ddc53ce5e6g

DEUXIÈME COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

Sur les sous-groupes finis de

Le but de ce problème est de caractériser les sous-groupes finis de ne contenant pas d'homothétie autre que l'identité.

Notations et conventions

Soit un groupe fini (noté multiplicativement) de cardinal . On note l'unité de . On rappelle que tout élément de vérifie et on admet que si est un nombre premier qui divise , alors il existe tel que .
Si est un -espace vectoriel de dimension finie, on note le groupe des endomorphismes inversibles de et l'identité de . Si un endomorphisme de , on note la trace de et son déterminant.
Si est un sous-groupe fini de , et un sous-espace vectoriel de , on note l'ensemble des vecteurs fixés par . On dit que est stable par si quels que soient , on a et on dit que est irréductible pour si ses seuls sous-espaces stables par sont et .
On note l'espace des matrices carrées de taille à coefficients complexes et le groupe des matrices inversibles dans .
On note le sous-groupe de à éléments formé des matrices et , où est un entier compris entre 0 et et (on ne demande pas de vérifier que est un groupe).

I - Sous-groupes finis de GL(E)

  1. Soit un -espace vectoriel de dimension finie et soit un sous-groupe fini de . Démontrer que, pour tout est diagonalisable et que, si est commutatif, tous les éléments de sont diagonalisables dans une même base.

II - Isométries du triangle

  1. On se place dans le plan euclidien, muni d'un repère orthonormé centré en . On s'intéresse au sous-groupe des isométries du plan qui préservent un triangle équilatéral de centre .
2a. Faire l'inventaire des éléments de et démontrer que est de cardinal 6 .
2b. En se plaçant dans la base (non orthonormée) , démontrer que le groupe est isomorphe à un sous-groupe de formé de matrices où sont dans .
2c. Diagonaliser dans la matrice . En déduire que le groupe est isomorphe au groupe .

III - Lemme de Schur

Notons et . Notons la matrice identité de . On appelle homothétie une matrice de la forme . Soit un sous-groupe fini de . Pour tout , on note l'application :
  1. Montrer que est un morphisme de groupes de dans , et que est injectif si et seulement si ne contient pas d'homothéties autres que l'identité.
On note l'image par de et l'ensemble des matrices telles que pour tout dans .
4. Soit . Démontrer que et sont des sous-espaces stables par .
5. On suppose que est irréductible pour . Soit , démontrer que est soit nulle, soit inversible. En déduire que est de dimension 1 .
6. Soient . On considère l'endomorphisme de suivant, .
Démontrer que .
7. Soit .
7a. Démontrer que . En déduire que est diagonalisable.
7b. Démontrer que et en déduire que .
8. Démontrer que .
(On pourra considérer d'abord le cas où est injectif.)
On suppose, jusqu'à la fin de cette partie, que est irréductible pour .
9a. Soit dans une matrice qui commute avec toutes les matrices de . Démontrer que 。
9b. Soit . Démontrer que .
10. On garde la notation jusqu'à la fin de cette partie. Soit . On note
et les combinaisons linéaires, à coefficients dans , de matrices de .
10a. Démontrer que pour tout est dans , puis que est dans .
10b. On note les matrices (où et ) de . Démontrer que pour tous , on peut trouver des coefficients dans tels que .
10c. On pose et . Démontrer que .
10d. Démontrer que est racine d'un polynôme à coefficients dans de degré et de terme dominant égal à 1 . En déduire que divise .

IV - Une caractérisation de impair

Soit un sous-groupe fini de . Notons . , et posons pour tout
11a. Montrer que est un produit scalaire hermitien sur , vérifiant quels que soient et .
11b. Démontrer que si n'est pas irréductible pour , il existe une base orthogonale de pour le produit scalaire hermitien qui diagonalise les matrices de . En déduire que est commutatif.
12a. On note le sous-groupe de des matrices de déterminant 1. Quels sont les matrices telles que ?
12b. Démontrer que si est non commutatif, alors est pair. En déduire que . (Utiliser les rappels du préambule.)
On suppose par la suite que est un sous groupe fini de ne contenant aucune homothétie autre que l'identité. On note
13a. Démontrer que est commutatif. En déduire qu'il existe dans et un sous-
groupe de formé de matrices diagonales de la forme tels que soit un isomorphisme de sur .
13b. Démontrer qu'il existe un entier tel que soit le groupe des matrices où et prend les valeurs de 0 à .
13c. Si démontrer qu'alors est commutatif (considérer le morphisme de groupe .
On suppose dans les questions 14 et 15 que n'est pas commutatif et que est exactement le groupe .
14. Soit une matrice dans qui n'est pas diagonale.
14a. Démontrer que pour tout on a . En déduire que est de la forme avec .
14b. Calculer et en déduire que .
14c. Montrer qu'il existe diagonale telle que .
15a. Soit une matrice diagonale dans . Montrer que .
15b. Montrer que est un isomorphisme de sur le groupe .
16. Soit un sous-groupe fini commutatif de qui ne contient pas d'homothétie autre que l'identité.
16a. Montrer qu'il existe une matrice et deux morphismes de groupes tels que toute matrice de s'écrive .
16b. Montrer que est un isomorphisme de dans le groupe des racines -ièmes de l'unité.
16c. Montrer que est le groupe des matrices de la forme variant de 0 à , où l'on a posé et et étant deux entiers tels que est premier avec .
17. Décrire à partir des questions précédentes tous les sous-groupes finis de ne contenant pas d'homothétie autre que l'identité.
18. Montrer que le groupe fini commutatif ne peut pas être isomorphe à un sous-groupe de .
Polytechnique Mathématiques 2 MP 2010 - Version Web LaTeX | WikiPrépa | WikiPrépa