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Polytechnique Mathématiques 2 MP 2004

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Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Algèbre linéaireGéométrieCalcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesAlgèbre bilinéaire et espaces euclidiens
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X-ENS
Année
2004
Filière
MP
Matière
Maths
X-ENS MPX-ENS 2004MP MathsMaths 2004
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DEUXIÈME COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

Courbures des surfaces dans l'espace

Ce problème propose une étude des surfaces de l'espace et de leurs courbures totale et moyenne. Pour tout entier , l'espace sera muni de son produit scalaire et de sa norme usuels notés respectivement (.|.) et . èéàé algébriques.

Première partie

  1. Soient des éléments de les composantes de dans la base canonique de . Pour tout on note le produit par déterminant de la matrice ( ) où et . On note le vecteur de de composantes .
    1.a) Montrer que est orthogonal à tous les .
    1.b) Comparer les conditions suivantes:
    i)
    ii) la famille est liée.
    1.c) Exprimer en fonction de le déterminant des vecteurs dans la base canonique de .
    2.a) Montrer que, pour tout -uple de vecteurs linéairement indépendants, il existe un unique vecteur ayant les propriétés suivantes
    i) est de norme 1 et orthogonal à tous les
    ii) le déterminant des vecteurs dans la base canonique de est strictement positif.
    2.b) Vérifier que, pour toute rotation de , on a
  1. Soit une base de la matrice de coefficients .
    3.a) Montrer que est inversible et diagonalisable. Que peut-on dire de ses valeurs propres?
    3.b) Soit un vecteur de , de coordonnées dans la base ( ). Exprimer le vecteur ligne en fonction de et du vecteur ligne .
Dans la suite du problème, on désigne par une partie ouverte de , par un élément quelconque de , par une application de classe de dans , par (resp. ses dérivées partielles d'ordre 1 (resp. 2). On suppose que les -vecteurs ( ) ( ) sont linéairement indépendants pour tout , et on pose .
4.a) Vérifier que l'application est de classe .
4.b) Comparer et .
4.c) Démontrer l'existence et l'unicité de nombres réels tels que l'on ait
4.d) On note respectivement les matrices de coefficients respectifs . Vérifier que .

Deuxième partie

Dans toute la suite du problème, on suppose ; on a donc un ouvert de et une application de classe de dans telle que les vecteurs et soient linéairement indépendants pour tout de . On a en outre
où. . désigne le produit vectoriel dans . On pose
où est la matrice définie à la question 4.d). On note , les composantes de ; on suppose que contient le point 0 et on fait l'étude de la surface au voisinage du point .
5. Soit une rotation de . Montrer que les objets et associés à l'application sont égaux respectivement à et .
6. On suppose que, pour suffisamment voisin de est de la forme
avec .
6.a) Calculer et en fonction des nombres
6.b) (Cas d'un cylindre) On suppose que est fonction de seul, soit . Exprimer en fonction de la courbure de la courbe , intersection du cylindre avec le plan .
7.) Dans cette question, on considère le cas d'une surface de révolution :
où est une fonction strictement positive de classe définie sur un intervalle I.
7.a) Dire pour quelles valeurs de les vecteurs et sont linéairement indépendants.
7.b) Vérifier que
7.c) Donner une fonction élémentaire pour laquelle est nul pour tout .
7.d) Montrer que, pour tous nombres réels et , il existe satisfaisant
Interpréter géométriquement le résultat obtenu.
7.e) Calculer pour une telle fonction .
8.) Indiquer, sans aucun calcul, des surfaces pour lesquelles et sont des constantes.

Troisième partie

Dans cette partie, on se propose d'étudier l'effet d'un changement de paramétrage sur les fonctions et .
Dans la situation du début de la deuxième partie on note la matrice (jacobienne) de coefficients . Notation analogue pour .
9. Vérifier que .
On se donne maintenant un difféomorphisme de sur un autre ouvert de et on pose . Pour tout on écrira aussi ; on pose , c'est-à-dire , et on note les objets définis à partir de et comme l'ont été à partir de et . On suppose connexe par arcs.
10.a) Exprimer en fonction de et , puis en fonction de et dét .
10.b) Montrer qu'il existe tel que l'on ait pour tout .
10.c) Exprimer en fonction de et .
10.d) Comparer et et .
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