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Polytechnique Mathématiques 2 MP 2003

Trigonalisation simultanée d'endomorphismes unipotents.

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Algèbre linéaireRéductionAlgèbre bilinéaire et espaces euclidiensNombres complexes et trigonométries, calculs, outils

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X-ENS MP X-ENS 2003 MP Maths Maths 2003

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DEUXIÈME COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

(Durée : 4 heures)

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

Trigonalisation simultanée d'endomorphismes unipotents

Notations. On désignera par

le corps des réels ou celui des complexes; pour tout entier

, on note

l'espace des matrices à

-lignes et

-colonnes à coefficients dans

et on l'identifie à l'espace des endomorphismes de

. On note

le sous-ensemble de

formé des matrices orthogonales de déterminant 1 .

La lettre

désignera toujours un

-espace vectoriel de dimension

désignera l'ensemble des endomorphismes de

désignera celui des endomorphismes inversibles. On dit qu'une partie

est laissée stable par un endomorphisme

si l'on a

On appelle commutant d'une partie

d'une algèbre

l'ensemble des éléments de

qui commutent à tous les éléments de

Première partie

Soit une matrice de , diagonale avec coefficients diagonaux ; on suppose qu'il existe deux indices et tels que . Vérifier que si une matrice commute à , on a .
Déterminer le commutant de dans .
3.a) Montrer que, si , le commutant de dans est formé de matrices diagonales.
b) Déterminer ce commutant.

Deuxième partie

Une partie

sera dite irréductible si

sont les seuls sous-espaces vectoriels de

laissés stables par tous les éléments de

.
4. Vérifier que, si

est irréductible.
5. Vérifier que, si deux éléments

commutent, tout sous-espace propre de l'un deux est laissé stable par l'autre.
6. Montrer que, si

, le commutant d'une partie irréductible de

est réduit aux multiples scalaires de l'endomorphisme identité,

.
7. Ce résultat subsiste-t-il lorsque

Troisième partie

Un élément

est dit unipotent si

est nilpotent (c'est-à-dire s'il existe un entier

tel que

On se propose de démontrer que, si

et si

est un sous-groupe de

formé d'éléments unipotents,

admet une base dans laquelle tous les éléments de

sont représentés par des matrices triangulaires supérieures avec coefficients diagonaux égaux à 1 .
8. Montrer que tout élément unipotent

est inversible, et déterminer la somme

.
9. Traiter le cas où

et où

est l'ensemble des puissances d'un élément

. Dans ce cas, est-il nécessaire de supposer

On suppose maintenant

. On rappelle que

.
10. Vérifier que le sous-espace vectoriel

engendré par

est une sous-algèbre de

.
11. Calculer

pour

.
12. Supposant en outre

irréductible, montrer que

est réduit à

, et préciser la valeur de

.
[On pourra utiliser le résultat suivant, qui sera démontré dans la quatrième partie : si

et si

est une sous-algèbre de

, irréductible et contenant id

, alors

].
13. Ne supposant plus

irréductible, démontrer l'existence d'un vecteur non nul

tel que

pour tout

.
14. Conclure.

Quatrième partie

Le but de cette partie est de démontrer le résultat admis à la question 12. Procédant par l'absurde, on suppose

On fixe une base

et on identifie les éléments de

à leurs matrices
représentatives dans cette base. Pour tout

on désigne par

l'ensemble des matrices telles que si ;
l'application de dans définie par

l'application de dans définie par

Enfin on note

l'application linéaire de

dans

) définie par

Démontrer les assertions suivantes:
a) est invariant par tous les et .
b) .
c) est nul ou égal à .
Construire un sous-espace vectoriel de , supplémentaire de et laissé stable par tous les .

On note

le projecteur de

sur

parallèlement à

; pour

, on pose

Montrer que est un multiple scalaire de , que l'on notera .
Vérifier les égalités suivantes:
a) .
b) .
c) .
Déterminer .
Conclure.