Version interactive avec LaTeX compilé
Polytechnique Mathématiques 2 MP 2002
Notez ce sujet en cliquant sur l'étoile
0.0(0 votes)
Algèbre bilinéaire et espaces euclidiensTopologie/EVN
CONCOURS D'ADMISSION 2002
DEUXIÈME COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.
On attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.
Dans les trois premières parties, on désigne par
-
et des entiers tels que ; -
l'espace euclidien avec son produit scalaire usuel ( ) et la norme associée ; -
, des éléments non nuls de satisfaisant une condition de la forme
où
-
l'endomorphisme de défini par
Si
Première partie
- Donner un exemple simple de famille (
) satisfaisant une condition de la forme (1). - Déterminer le sous-espace vectoriel de
engendré par les . - On prend
. Déterminer et . - Vérifier que
est autoadjoint, inversible et satisfait pour tout . - Comparer
et . - Trouver un réel
tel que pour tout . Que peut-on dire de - On suppose que
pour tout . Déterminer .
Deuxième partie
On note
On pourra admettre qu'il existe une unique application linéaire
- Vérifier que l'on a
et .
On pose
- Vérifier que l'on a
. - Étant donné un élément
de , déterminer le minimum des nombres pour les familles vérifiant , et préciser pour quelles familles ce minimum est atteint. - Expliquer ce qui se passe dans chacun des cas suivants:
a) lesforment une base de ;
b) lesforment une base orthonormale de ;
c) on apour tout .
Troisième partie
On se propose, dans cette partie, de résoudre l'équation
on a donc
12. Montrer que l'on a
12. Montrer que l'on a
- Déterminer le minimum
de la fonction , préciser pour quelle valeur de il est atteint, et montrer que . À quelle condition est-il égal à 0 ?
[Il est conseillé de dessiner les courbes représentatives des fonctionset ].
On fixe un élémentde et on définit une application de dans lui-même par
- Étant donné
et , comparer et . - On désigne par
un élément de et on pose, pour tout entier . Étudier le comportement de la suite . Conclure.
Quatrième partie
Dans cette partie, on désigne par
-
un espace préhilbertien réel; -
un endomorphisme continu de (on ne le suppose pas autoadjoint); -
et des éléments de .
Pour tout réel
16.a) Trouver une condition portant sur
avec
b) Trouver alors une condition portant sur
b) Trouver alors une condition portant sur