J-0
00m
00j
00h
00min
00s

Version interactive avec LaTeX compilé

Télécharger PDF

Polytechnique Mathématiques 2 MP 2001

Sous-groupes discrets d'un espace euclidien

Notez ce sujet en cliquant sur l'étoile
0.0(0 votes)
Algèbre généraleAlgèbre bilinéaire et espaces euclidiensGéométrieTopologie/EVNAlgèbre linéaire
Logo x
🔗 Explorer
Banque
X-ENS
Année
2001
Filière
MP
Matière
Maths
X-ENS MPX-ENS 2001MP MathsMaths 2001
2025_08_29_45ca58eee717022de065g

DEUXIÈME COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.
On attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.
On se propose d'établir quelques propriétés des sous-groupes discrets des espaces euclidiens. Dans tout le problème, on désigne par un entier strictement positif, par l'espace , par ( | ) son produit scalaire usuel et par || || la norme correspondante. On rappelle les faits suivants :
a) un sous-ensemble de est dit discret si tout élément de est isolé, i.e. admet un voisinage dans tel que ;
b) un groupe abélien est isomorphe à un groupe si et seulement s'il admet une -base, c'est-à-dire une famille telle que tout élément de s'écrive d'une façon unique sous la forme avec .

Première partie

  1. Démontrer les assertions suivantes:
    a) Un sous-groupe de est discret si et seulement si l'élément 0 est isolé.
    b) Tout sous-groupe discret de est fermé dans .
    c) Les sous-groupes discrets de sont exactement les sous-ensembles de la forme avec .
  2. On désigne par un nombre réel et par le sous-groupe de , ensemble des réels où . Montrer que est discret si et seulement si est rationnel.
  3. Construire un sous-groupe discret de tel que sa première projection sur ne soit pas discrète.
  4. On se propose ici de démontrer que tout sous-groupe discret de est isomorphe à un sous-groupe d'un groupe . On désigne par le sous-espace vectoriel de engendré par , par sa dimension, par une base de contenue dans , et par le sous-groupe de engendré par cette base. Enfin on pose
a) Vérifier que est un ensemble fini.
b) Etant donné un élément de , construire un couple tel que l'on ait , et démontrer son unicité.
c) Soit encore un élément de ; écrivant (pour entier ), montrer qu'il existe un entier tel que l'on ait .
d) Conclure.
5. Dans cette question, est un sous-groupe de ; ses éléments seront notés ; on posera .
a) Montrer qu'il existe un entier et un élément de tel que l'on ait
b) On suppose ici non réduit à ; étant donné un élément de , construire un couple tel que l'on ait et ; démontrer son unicité.
c) En déduire que tout sous-groupe discret de est isomorphe à un groupe .
6. On suppose ici et on considère deux -bases ( ), ( ) d'un même sousgroupe discret de . Comparer les aires des parallélogrammes construits respectivement sur ( ) et ( ).

Deuxième partie

  1. Dans cette question, on désigne par la base canonique de et par le groupe des automorphismes linéaires de . Pour toute partie de , on note le sous-groupe de engendré par .
Soit un sous-groupe fini de tel que les matrices des éléments de dans la base soient à coefficients rationnels. On note l'ensemble des vecteurs où et .
a) Montrer qu'il existe un entier tel que l'on ait .
b) Démontrer l'existence d'une base de dans laquelle les matrices des éléments de sont à coefficients entiers.
8. Soit une matrice à lignes et colonnes, à coefficients rationnels, d'ordre fini (c'est-à-dire que et que est le plus petit entier ayant cette propriété).
a) Montrer que le polynôme caractéristique de est à coefficients entiers.
b) On suppose ici . Montrer que ne peut prendre que les valeurs et donner, pour chacune de ces valeurs, un exemple de matrice d'ordre à coefficients entiers.

Troisième partie

On désigne par le groupe des automorphismes linéaires orthogonaux de (ensemble des de tels que pour tout de , et par l'ensemble des transformations de de la forme
ù
on écrit alors . On note l'élément neutre de .
9. Montrer que est compact.
10.a) Vérifier que est un groupe, écrire sa loi de groupe, préciser son élément neutre, puis l'inverse d'un élément ( ).
b) Calculer .
11. On note le morphisme défini par . On fixe un sous-groupe discret de qui engendre linéairement et on note le sous-groupe de formé des éléments tels que .
a) Vérifier que, si un élément de appartient à , il en est de même de ( ) et .
b) Montrer que est fini.
c) Déterminer dans le cas où et où est l'ensemble des couples ( ) de tels que .
Polytechnique Mathématiques 2 MP 2001 - Version Web LaTeX | WikiPrépa | WikiPrépa