(Durée : 4 heures)

Pour tout entier , on note . . sur la sphère de rayon 1 dans l'espace des matrices réelles à lignes et colonnes, la matrice identité dans le sous-ensemble de des matrices inversibles, et celui des matrices de déterminant 1. On note la trace d'une matrice de sa transposée, la matrice de ses cofacteurs, et l'on rappelle la formule

Si est une matrice de , on désigne par son exponentielle, définie par . On rappelle que l'application de dans est de classe , et que sa dérivée en 0 est . De même, si est un endomorphisme d'un -espace vectoriel de dimension finie, on note son exponentielle donnée par la série .

Soit un ouvert de . Si est une application de classe , on note sa différentielle au point , soit :

1a. Soient et deux formes linéaires sur telle que . Montrer qu'il existe un réel tel que .

1b. Soient des formes linéaires sur telles que . Montrer que est combinaison linéaire de . (Une méthode possible est de raisonner par récurrence sur , en considérant, pour , la restriction de et à ).

Montrer que pour tout dans .
3. Soit tel que et soit , non nul, orthogonal à . Montrer qu'il existe une application de classe telle que et .
4. Soit une fonction de classe , et soit sa restriction à . Montrer que admet des extremums. Si est un extremum, en considérant une application comme ci-dessus, montrer qu'il existe un réel tel que

5a. Montrer que est de classe et calculer sa différentielle.
5b. Soit un extremum de la restriction de à . Montrer que est vecteur propre de .

Dans cette partie, on considère les fonctions suivantes :

où est le coefficient de sur la i-ème ligne et j-ième colonne,

ainsi que la restriction de à , que l'on note .
6a. Montrer que .
6b. Vérifier que définit un produit scalaire sur .
6c. Montrer que est de classe et calculer sa différentielle.
7. On note la matrice de ayant pour coefficient 1 à la -ième ligne et -ième colonne, et 0 partout ailleurs. Soient et . Exprimer en fonction de , de et des coefficients de la matrice .
En déduire que pour tout , .
8. Montrer que est fermé dans et que la restriction de à possède un minimum.
9. Soit . Montrer que .
10. Soit et soit tels que . Montrer que l'application

est à valeurs dans , de classe et vérifie .
11. Soit un point où la fonction atteint son minimum, et soit dans tels que .

11a. Montrer que .
11b. Déduire de ce qui précède que est une matrice orthogonale. Que vaut alors ?

Dans cette partie, on se propose de calculer la différentielle en un point quelconque de l'application . On rappelle que est un ouvert de .

12a. Soient deux applications de classe . Posons . Montrer que est de classe et que pour tout dans ,

12b. Soit une application de classe . On suppose que pour tout , est inversible et on pose . Montrer que est de classe et que pour tout dans ,

13a. Soient . Trouver une application de classe telle que et .

13b. Montrer qu'il existe tel que et soient inversibles pour tout dans l'intervalle .

13c. Pour tous dans , posons . Calculer en fonction de et .
14. Soit défini, pour tout dans par

14a. Montrer que est un morphisme de groupes. Montrer que les coefficients de sont des fractions rationnelles des coefficients de et de . En déduire que est de classe .

14b. Montrer que est donné, pour tous par

Dans la suite du problème, on pose
15. Soit un -espace vectoriel de dimension finie et soit un morphisme de groupes de classe .

15a. Montrer que pour tout , pour tout ,

15b. On fixe . On considère les applications définies pour tout par

Montrer que .
15c. Retrouver le résultat de la question en utilisant le résultat de la question 7.
15d. Montrer qu'avec les notations de la question 14, , pour tout .
16. On fixe . Pour tout , on pose

16a. Montrer que .
16b. Déduire du calcul de que .
16c. Montrer que .
16d. En déduire une formule (sous forme de série) pour .