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Polytechnique Mathématiques 1 MP 2009

Exponentielles d'endomorphismes, intégrales et séries

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Intégrales généraliséesSéries entières (et Fourier)Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Intégrales à paramètresSuites et séries de fonctions
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X-ENS
Année
2009
Filière
MP
Matière
Maths
X-ENS MPX-ENS 2009MP MathsMaths 2009
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PREMIÈRE COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

Exponentielles d'endomorphisme, intégrales et séries

Première partie

On désigne par l'espace vectoriel des fonctions réelles, de classe , d'une variable réelle. On définit comme suit des endomorphismes de cet espace :
  • pour toute ,
  • pour tout nombre réel et pour toute .
  1. Vérifier que la valeur en de la dérivée de la fonction est égale à .
On va maintenant étudier les puissances de et chercher le sens à donner à la formule .
2. Vérifier que, si est un polynôme, la série est convergente et de somme .
3. Montrer que, pour tout entier , on a .
4. Montrer que, pour tout entier , il existe des nombres réels positifs , tels que , et exprimer en fonction des . Préciser les valeurs de et .
5. On désigne par un polynôme d'une variable réelle. Démontrer la relation
  1. Étant donné une suite de nombres réels , comparer les rayons de convergence des séries entières et .
  2. On se donne maintenant une fonction développable en série entière de rayon de convergence . On admettra la propriété suivante :
    (P) si , la série entière en a un rayon de convergence au moins égal à , et, si , on a .
    7.a) Vérifier que, si , il existe un réel tel que
7.b) Démontrer l'existence de nombres réels , indépendants de et tels que l'on ait
7.c) Vérifier que
[On pourra utiliser le résultat de la question 5.]
7.d) Montrer que, pour , on a .
7.e) On pose . Indiquer deux réels et tels que
7.f) Montrer que, si et , la série est convergente et de somme .

Deuxième partie

Dans cette partie, on désigne par l'espace vectoriel des fonctions réelles, d'une variable réelle, continues et telles que, pour tout entier , la fonction soit bornée.
8. Soit une fonction de . Montrer que, pour tout entier , la fonction est intégrable sur .
On posera .
9. Soient et deux fonctions de .
9.a) Montrer que, pour tout réel , la fonction est intégrable sur .
On notera la fonction .
9.b) Montrer que appartient à et écrire une formule de la forme
où les sont des coefficients à déterminer.
On admettra la commutativité et l'associativité de l'opération .
Dans la suite du problème, on désigne par l'ensemble des fonctions de qui sont positives et telles que et .
10. Étant donné des fonctions de , calculer et puis exprimer en fonction des .
Pour tout réel , on désigne par l'endomorphisme de défini par .
11. Calculer .
Dans la suite du problème on désigne par , des fonctions de , et, pour tout , on pose . On suppose que tous les sont majorés par une même constante .
12.a) Montrer que, pour tout réel , les deux intégrales et tendent vers 0 lorsque .
12.b) Étant donné une fonction continue bornée sur , étudier le comportement de lorsque .
[On pourra considérer d'abord le cas où .]
13.a) Établir une inégalité entre et lorsque .
13.b) Démontrer la formule, pour ,
13.c) Trouver une condition portant sur les sous laquelle on ait, pour tout ,
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