J-0
00m
00j
00h
00min
00s

Version interactive avec LaTeX compilé

Télécharger PDF

Polytechnique Mathématiques 1 MP 2008

Équations différentielles de Sturm-Liouville

Notez ce sujet en cliquant sur l'étoile
0.0(0 votes)
Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Calcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesEquations différentiellesRéductionTopologie/EVN
Logo x
🔗 Explorer
Banque
X-ENS
Année
2008
Filière
MP
Matière
Maths
X-ENS MPX-ENS 2008MP MathsMaths 2008
2025_08_29_7f8a9ad0dce0f914325fg

PREMIÈRE COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

Équations différentielles de Sturm-Liouville

Ce problème est consacré à l'étude d'une équation différentielle avec paramètre. On désigne par l'espace des fonctions réelles de classe sur .

Première partie

Dans cette première partie, étant donné deux fonctions et de , on désigne par l'endomorphisme de défini par
et par ( ) l'équation différentielle sur .
  1. Soit une solution non identiquement nulle de ( ).
    1.a) Montrer que les fonctions et ne s'annulent pas simultanément.
    1.b) Montrer que les zéros de sont en nombre fini.
  2. Soit et deux solutions linéairement indépendantes de ( ); on suppose que admet au moins deux zéros et on note et deux zéros consécutifs.
    2.a) Montrer que admet au moins un zéro dans l'intervalle ouvert . [On pourra procéder par l'absurde et considérer le wronskien de et .]
    2.b) La fonction peut-elle avoir plusieurs zéros dans ?
Étant donné deux fonctions et de ne s'annulant en aucun point, on désigne par l'endomorphisme de défini par
et par ( ) l'équation différentielle sur .
3.a) Soit et deux solutions linéairement indépendantes de ( ) et soit leur wronskien. Vérifier la relation
3.b) Montrer que, pour tout couple ( ), il existe des couples ( ) tels que et déterminer tous ces couples .
4. On se donne trois fonctions de et on suppose
Pour , on note une solution non identiquement nulle de l'équation ( ); on suppose que admet au moins deux zéros et on note et deux zéros consécutifs.
4.a) Vérifier la relation
[On pourra considérer .]
4.b) Montrer que admet au moins un zéro dans l'intervalle [. [On pourra procéder par l'absurde.]
Dans toute la suite du problème on note une fonction de ; pour tout nombre réel on considère l'équation différentielle sur :
On note l'unique solution de ( ) satisfaisant , et l'espace vectoriel (éventuellement réduit à zéro) des solutions de satisfaisant ; si cet espace n'est pas réduit à zéro, on dit que est valeur propre.

Deuxième partie

5.a) Quelles sont les valeurs possibles de ?
5.b) Démontrer l'équivalence des conditions et .
6. Démontrer les assertions suivantes:
6.a) Toute valeur propre est supérieure ou égale à inf .
6.b) Si avec , alors .

Troisième partie

Dans les troisième et quatrième parties, on désigne par le nombre des zéros de la fonction dans et on se propose d'étudier en lien avec les valeurs de , ainsi que la répartition des valeurs propres.
7. Dans cette question on examine le cas où et . On désigne par la partie entière d'un nombre réel .
7.a) Calculer pour .
7.b) Calculer .
7.c) Préciser le comportement de au voisinage d'un point .
On ne suppose plus ni . On admettra que la fonction de deux variables est de classe .
8. Dans cette question, on se propose de démontrer que, si est non nul, est constant dans un voisinage de .
On désigne par , les zéros de dans avec
8.a) Montrer qu'il existe une suite strictement croissante de nombres réels, possédant les propriétés suivantes :
(i) pour ;
(ii) sur ;
(iii) sur .
8.b) Dans cette question, on considère une fonction de classe définie sur un ouvert contenant un rectangle compact de . Démontrer l'assertion suivante : pour tout il existe tel que les conditions et impliquent
8.c) Montrer que, pour tout suffisamment voisin de a exactement un zéro dans chacun des intervalles , mais n'en a aucun dans les intervalles . Conclure.
9. Montrer que, pour tout , on a
[On pourra utiliser la question 4 et la question 7 en y remplaçant par un réel quelconque . ]
10.a) Montrer que, si est non nul pour tout appartenant à un intervalle est constant dans .
10.b) L'ensemble des valeurs propres est-il vide ou non vide? fini ou infini?

Quatrième partie

Dans cette quatrième partie, on étudie le comportement de au voisinage d'un point tel que . On écrira au lieu de , et on rappelle que cette fonction de deux variables est de classe ; l'équation ( ) s'écrit donc :
  1. Démontrer que la relation (i) entraîne les relations suivantes:
  1. Montrer qu'il existe un réel ayant les propriétés suivantes:
    (i) si , on a ;
    (ii) si , on a .
  2. Montrer qu'on peut écrire les valeurs propres comme une suite croissante infinie , et exprimer en fonction de .
Polytechnique Mathématiques 1 MP 2008 - Version Web LaTeX | WikiPrépa | WikiPrépa