Version interactive avec LaTeX compilé

Polytechnique Mathématiques 1 MP 2003

Notez ce sujet en cliquant sur l'étoile

0.0(0 votes)

Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Intégrales généraliséesIntégrales à paramètresSéries et familles sommablesSéries entières (et Fourier)

🔗 Explorer

X-ENS MP X-ENS 2003 MP Maths Maths 2003

2025_08_29_4286adf6768026ecdd74g

CONCOURS D'ADMISSION 2003

PREMIÈRE COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

(Durée : 4 heures)

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

Propriétés asymptotiques des solutions

d'une équation différentielle

On désigne par

E l'espace vectoriel des fonctions complexes continues bornées sur l'intervalle , muni de la norme ;
l'espace vectoriel des endomorphismes continus de , muni de la norme

l'endomorphisme identité de ;
le sous-ensemble de formé des couples vérifiant .

Première partie

Dans cette partie on désigne par

une fonction complexe continue bornée sur

et on pose

Vérifier que, pour toute fonction de , la fonction est bien définie sur et appartient à .
Vérifier que, si l'on note la fonction ainsi définie, on définit un élément de ; comparer et .
Déterminer une constante telle que l'on ait, pour tout et tout

Montrer que la série est convergente dans , et calculer le produit .

On fixe une fonction

et on considère l'équation intégrale

où

est une fonction inconnue dans

.
5. Quel est le nombre de solutions de (1)?

Deuxième partie

On s'intéresse maintenant à l'équation (1) où l'on prend

. On note

sa solution.
6. Montrer que

est de classe

.
7. Vérifier que

est solution sur

de l'équation différentielle

Le couple ( ) est-il une base de l'espace vectoriel des solutions de (2) dans ?

Troisième partie

On se propose d'étudier le comportement asymptotique de la fonction

lorsque

. On dit qu'une fonction

admet un développement asymptotique à l'ordre

s'il existe des constantes

telles que l'on ait

(ce qui signifie que la fonction

est bornée).
On admettra qu'une telle famille

, si elle existe, est unique. On dit qu'une fonction

admet un développement asymptotique à l'ordre

si elle admet un développement asymptotique à tout ordre

.
9. On se propose ici de construire un développement asymptotique à l'ordre

pour chacune des fonctions

développement asymptotique que l'on écrira

a) Vérifier que, pour tout entier

, on a

.
b) Établir, pour tous entiers

, la formule

c) Conclure.
10. On se propose maintenant de construire un développement asymptotique à l'ordre

pour la fonction

; on a donc, par définition

On écrira ce développement asymptotique sous la forme

a) Vérifier que l'on a

b) Supposant construits

, écrire

en fonction de

et des divers

.
c) Vérifier que l'on a

d) Quel est le rayon de convergence de la série entière