(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

On attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.

On désigne par le plan complexe privé du sous-ensemble . Pour tout dans on note ( ) l'équation différentielle

On cherche une solution de ( ) sous la forme d'une série entière

a) Ramener sa résolution à celle de ( ) en cherchant sous la forme . [On rappelle que .]
b) Montrer que, si n'appartient pas à , les fonctions et forment une base de l'espace des solutions de .

On désigne par l'ensemble des nombres complexes tels que ; on pose .
6. Démontrer les résultats suivants :
a) Pour tout et tout , le nombre complexe est bien défini et appartient à (on précisera sa partie imaginaire).
b) Si l'on pose , on obtient une action du groupe additif sur .
c) La fonction réelle sur est invariante par les transformations , c'est-à-dire .
d) Si est différent de , on a si et seulement si .
7. On fixe un point de , distinct de .
a) Vérifier que l'orbite de sous l'action du groupe est incluse dans le cercle de centre et de rayon .
b) Montrer que l'orbite de est égale à ce cercle.
8. On définit une application indéfiniment différentiable de dans par .
a) Calculer le déterminant jacobien de , qu'on notera .
[On utilisera la formule .
b) Démontrer les assertions suivantes :
(1) est égal à l'ensemble privé du point ;
(2) on a si et seulement si et .

On désigne par l'espace des fonctions complexes de classe sur et par celui des fonctions de classe sur qui sont périodiques de période par rapport à .
9. Montrer qu'en associant à toute fonction de la fonction , on obtient un isomorphisme, qu'on notera , de sur .

On considère l'opérateur différentiel sur défini par

on admettra que, pour toute et tout , on a .
On désigne par l'endomorphisme de , défini par

Vérifier que l'on a:
a) pour .
b) pour .

On désigne par un nombre complexe et par la fonction sur définie par

Comparer et .
13. Montrer que .
[On pourra faire le changement de variable dans l'intégrale définissant ].

On suppose maintenant que n'appartient pas à .
On pourra admettre que, si une fonction est de la forme , on a

(les fonctions et ont été définies à la question 5.b).
15. Supposant Re , exprimer sous la forme d'une intégrale sur l'intervalle .

Nota : L'ensemble est appelé demi-plan de Poincaré et est le cadre d'une géométrie non euclidienne; les transformations réels et jouent un rôle analogue à celui des déplacements du plan euclidien, les transformations un rôle analogue à celui des rotations. Enfin l'opérateur différentiel est l'analogue du laplacien.