J-0
00m
00j
00h
00min
00s

Version interactive avec LaTeX compilé

Télécharger PDF

Polytechnique Mathématiques 1 MP 2000

Notez ce sujet en cliquant sur l'étoile
0.0(0 votes)
Séries entières (et Fourier)Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Polynômes et fractionsSéries et familles sommablesEquations différentielles
Logo x
🔗 Explorer
Banque
X-ENS
Année
2000
Filière
MP
Matière
Maths
X-ENS MPX-ENS 2000MP MathsMaths 2000
2025_08_29_8338cba362d406d0eb7fg

PREMIÈRE COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.
On attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.
On se propose d'étudier certaines équations différentielles, d'abord dans le cadre des séries entières, ensuite dans celui des fonctions indéfiniment dérivables.

Notations des parties I, II et III.

On désigne par l'espace vectoriel sur formé des suites de nombres complexes , et par la suite où si et 0 si . Pour tout de on note le rayon de convergence, éventuellement nul ou infini, de la série entière ; pour tout nombre réel on note l'ensemble des de tels que ; enfin on note l'ensemble des tels que .

Première partie

  1. Démontrer les assertions suivantes:
    a) Un élément de appartient à si et seulement s'il existe un nombre réel tel que l'on ait pour tout ; dans ce cas on a .
    b) Si, pour un réel , on a pour tout , on a .
  2. Déterminer un nombre réel tel que l'on ait, pour tout :

Deuxième partie

On fixe un nombre complexe et on désigne par l'endomorphisme de défini par pour tout .
3. Déterminer le noyau et l'image de .
4. Vérifier que, si n'est pas un entier strictement négatif, pour tout , la restriction de à est un isomorphisme de ce sous-espace sur lui-même.

Troisième partie

On définit le produit de deux éléments et de par et
On fixe deux nombres complexes et n'étant pas un entier strictement négatif; on note l'application de dans lui-même définie par .
5.a) Supposant que où et sont des éléments de , écrire en fonction de , puis en fonction de pour .
b) L'application est-elle injective? surjective?
6. On se propose de démontrer que la restriction de à est une bijection de ce sous-espace sur lui-même.
a) Vérifier que est inclus dans .
b) Soit tel que . Démontrer l'existence de nombres réels strictement positifs satisfaisant les conditions suivantes :
ùà
(4)
(5) .
c) Comparer et .
d) Conclure.
7. Exemple. On prend où , et on suppose encore .
a) Montrer que est de la forme avec et
b) En déduire un encadrement de .

Quatrième partie

Pour tout intervalle ouvert de on note l'espace des fonctions complexes indéfiniment dérivables sur . On désigne par un nombre réel non nul et par l'endomorphisme de défini par
  1. Déterminer les solutions maximales de l'équation différentielle sur les intervalles et , et préciser leurs intervalles de définition.
  2. Dire pour quelles valeurs de il existe une fonction , vérifiant , nulle en 0 mais non identiquement nulle.
Dans la suite, on prend pour un intervalle de la forme avec . On désigne par un point de , par une fonction de , et enfin par un nombre complexe.
10. Déterminer la solution maximale de l'équation différentielle sur telle que [on pourra introduire la fonction
  1. On suppose dans cette question que n'est pas un entier strictement négatif et que est la restriction à de la somme d'une série entière ayant un rayon de convergence .
Déterminer de façon que soit aussi la restriction à de la somme d'une série entière ayant un rayon de convergence .
12. On se propose d'étudier le comportement de lorsque tend vers 0 , sous l'hypothèse que tend vers 0 lorsque tend vers 0 .
a) Supposant , déterminer la limite de lorsque tend vers 0 .
b) On suppose maintenant que et que la fonction , prolongée par 0 au point 0 , admet une dérivée à droite en ce point. Trouver un nombre tel que tende vers 0 lorsque tend vers 0 .
Polytechnique Mathématiques 1 MP 2000 - Version Web LaTeX | WikiPrépa | WikiPrépa