X ENS Physique PSI 2005

DURÉE: 4 HEURES

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On se propose d'étudier deux méthodes d'imagerie radar, l'une basée sur la diffusion des ondes radar et l'autre sur la possibilité d'interférences entre les ondes radar. L'antenne qui émet les ondes radar sert aussi de récepteur. Elle est placée soit sur un avion soit sur un satellite.

Le problème est donc composé de quatre parties indépendantes :

Le texte comporte un certain nombre de questions qualitatives auxquelles on s'efforcera de répondre avec concision : quelques lignes voire quelques mots suffisent en général.

Effectuer plusieurs images d'une même zone à des instants différents nécessite une bonne maitrise des trajectoires des satellites. On se propose d'étudier certains aspects du mouvement d'un satellite de masse par rapport au référentiel géocentrique considéré comme galiléen. O désigne le centre de la Terre et est un trièdre lié au référentiel géocentrique, est le plan de l'équateur terrestre et a la direction pôle Sud - pôle Nord (cf. Figure 1).

La position du satellite assimilé à un point M est définie par ses coordonnées sphériques et dans le repère (voir Figure 1).
1.1.1 Dans le cas où la Terre est considérée comme sphérique, préciser à quelle condition supplémentaire on peut écrire que la force gravitationnelle qu'elle exerce se met sous la forme :

Les conditions initiales étant convenablement choisies, la trajectoire du satellite par rapport à est une ellipse (E) située dans le plan (P) faisant un angle non nul avec le plan de l'équateur et le coupant suivant la droite NN' appelée ligne des nœuds. La normale au plan (P) est OZ . Les nœuds N et N ' sont les intersections de ( E ) avec le plan de l'équateur; au nœud ascendant N , le satellite passe du Sud au Nord ; au nœud descendant N', il passe du Nord au Sud. La ligne des nœuds N ' N a la direction de OX et fait un angle avec la direction . Dans le plan ( P ), M est repéré par les coordonnées polaires et dans le repère ( ).

On rappelle que est la distance entre le centre de la Terre et le satellite.
1.1.2 Soit le moment cinétique en O du satellite.
a- Que peut-on dire de ? Dessiner la trajectoire orientée du satellite dans le plan (P) et situer le vecteur .
b- On note la norme du moment cinétique et . Comment nomme-t-on usuellement? Quelle est sa signification? Pendant la durée varie de . Exprimer en fonction de et .
c- Exprimer en fonction de et des vecteurs unitaires des axes fixes de .
1.1.3 On rappelle que l'équation d'une ellipse en coordonnées polaires ( ) de paramètre , d'excentricité s'écrit si l'origine des angles est prise au périgée. On notera le demi-grand axe de l'ellipse (E).
a- Donner l'expression du vecteur accélération de M en fonction de et de leurs dérivées temporelles. La simplifier en tenant compte de la question 1.1.2.
b- On pose ; en déduire une nouvelle expression de l'accélération en fonction de et . En déduire la valeur du paramètre de l'ellipse en fonction de et .
c- Le périgée de est tel que où OX est dirigé selon l'axe des nœuds dans le plan de l'équateur. Donner l'expression de en fonction de et . Tracer l'allure de l'ellipse en indiquant la position de la ligne des nœuds pour .
d- En utilisant les propriétés connues de l'ellipse, donner l'expression de en fonction de et .

Pour tenir compte des irrégularités de forme et de densité de la Terre, le potentiel gravitationnel s'écrit où représente la latitude c'est-àdire . Le terme a pour valeur numérique ; il rend compte de
l'aplatissement de la Terre aux pôles (ou du bourrelet équatorial). On admettra que le terme correctif a un effet quasi nul pendant une durée égale à la période du mouvement étudié en 1.1. Pendant cette durée, l'orbite du satellite reste donc plane et elliptique avec les propriétés établies en 1.1. L'effet du terme correctif se traduit alors par un lent mouvement du plan de l'orbite. On posera pour alléger les calculs et on admettra la relation vectorielle:

1.2.1 Soit la nouvelle force gravitationnelle subie par le satellite. On pose . Exprimer et en fonction de et .
1.2.2 a- Soit le moment en O de la force gravitationnelle . A l'aide du schéma de la Figure 2, montrer que les contributions au moment global des forces subies par le satellite sont de même sens lorsque celui-ci se situe soit en A soit en B.

b- Exprimer en fonction de et en utilisant la base des coordonnées sphériques .
c- Ecrire sous la forme , les coordonnées étant exprimées en fonction de et .
1.2.3 a- Soit la valeur moyenne de pendant la durée . Montrer que l'on a:
b- Calculer ; montrer que et sont indépendants de . En déduire que et .
c- Exprimer en fonction de et .
1.2.4 a- En utilisant l'expression vectorielle de obtenue au 1.1.2.c, calculer puis écrire, en posant , la relation vectorielle .
b- Montrer que est constant.
c- Calculer en fonction de et .
d- Quand l'orbite est circulaire, on trouve: . Retrouver rapidement l'équivalent de la troisième loi de Kepler dans le cas du mouvement circulaire uniforme.
La vitesse angulaire étant exprimée en degrés par jour on a donc: . Exprimer en fonction de et puis calculer sa valeur numérique, le résultat devant être donné en degrés par jour.
e- A l'aide du schéma de la Figure 2 et de la relation vectorielle , pouvait-on prévoir les résultats obtenus aux questions 1.2.4.a et 1.2.4.b, notamment le sens du mouvement de précession de la ligne des nœuds?

Dans cette partie, on supposera, pour simplifier, que le plan de l'équateur est confondu avec le plan de l'écliptique ou plan de l'orbite du centre de la terre lors de son mouvement quasicirculaire autour du soleil. On fera référence au dessin ci-dessous pour toute cette question 1.3

1.3.1 On considère un satellite dont l'orbite est circulaire de rayon avec .

On souhaite que la vitesse angulaire de la ligne des nœuds N'N soit égale à la vitesse angulaire du centre de la Terre dans son mouvement autour du soleil.
Calculer alors la valeur à donner à l'angle pour ce satellite dit héliosynchrone.
1.3.2 Calculer, en minutes, la période du satellite.
1.3.3 En un lieu donné de la Terre, il est midi (heure solaire) quand le demi-plan méridien de ce lieu contient le soleil. Quand le centre de la terre est en , la ligne des nœuds N'N fait un angle de (ou ) avec la droite joignant le Soleil au centre de la Terre. On rappelle qu'il y a 24 fuseaux horaires sur la Terre.
a- Représenter la ligne des nœuds quand le centre de la Terre se trouve en puis : on précisera l'angle de cette ligne avec les droites (Soleil, ) et (Soleil, ).
b- Soit le point lié à la Terre survolé par le satellite lors de son passage en quand O est en . Quelle heure (solaire) est-il en lors du survol de ce point par le satellite? Répondre aux mêmes questions quand la Terre est en et en .
c- Le satellite étant destiné à photographier la surface de la Terre, quel est l'intérêt de disposer d'un satellite héliosynchrone?
d- Quelle devrait être la période du satellite pour que le survol d'un lieu donné de l'équateur se produise tous les 11 jours? On choisira pour ' la valeur la plus proche possible de et légèrement inférieure. Donner les variations d'altitude et d'angle correspondant à cette nouvelle valeur de la période. Commenter.

Dans toute la suite du problème, on s'intéresse plutôt à des procédés d'imagerie radar reposant sur le principe suivant : une antenne émet des ondes électromagnétiques de fréquence et de longueur d'onde de l'ordre de quelques centimètres, en direction de la surface de la Terre, qui absorbe l'onde et la réémet dans toutes les directions : on dit qu'il y a diffusion. L'onde diffusée, aussi appelée écho, est ensuite captée par l'antenne émettrice, jouant le rôle de récepteur. L'antenne est embarquée à bord d'un avion ou d'un satellite, ce qui permet de balayer la surface de la Terre.

On admettra que les ondes électromagnétiques ont le même comportement que les ondes lumineuses mais, l'atmosphère et les nuages perturbant très peu les ondes radar, on prendra un indice .

Dans cette partie, on s'intéresse au processus de diffusion de l'onde réémise par le sol. On décrit l'onde incidente sur le sol par une onde plane de direction c'est-à-dire qu'on suppose que est à l'infini dans la direction (cf. Figure 4). On admet que chaque élément de surface centré en un point M courant du sol diffuse en Q une onde élémentaire sphérique dont l'amplitude complexe est proportionnelle à et à l'amplitude complexe de l'onde incidente au point M :

et que les ondes élémentaires sont cohérentes entre elles. Le coefficient rend compte de l'efficacité de la diffusion en fonction du matériau. D'autre part, on suppose que Q est situé au voisinage de S et que M reste au voisinage d'un point P du sol, de telle sorte qu'on prend où est une constante, au dénominateur de . On suppose enfin que Q est à l'infini dans la direction .

2.1 En s'appuyant sur une figure, exprimer l'écart de chemin optique ( )-( ) en fonction de et du vecteur . Quel est le principe utilisé permettant d'écrire l'amplitude complexe sous la forme où l'intégrale porte sur la zone diffusante et où est une constante complexe?
Dans la suite de cette partie, on prend comme origine du repère et on pose .
2.2 On envisage une portion de sol horizontal, carrée de côtés selon les axes x et y et centrée en P , homogène de telle sorte que est une constante .
a- Etablir l'expression de l'éclairement diffusé en Q en fonction de ', et de sa valeur maximale . Tracer l'allure du graphe de en fonction de . Dans quelle direction ' a-t-on un éclairement maximum ? Interpréter.
b- En pratique l'antenne émettrice sert aussi de récepteur et récupère «en bloc» les ondes diffusées par une portion de sol carrée de côté . Calculer le rapport de l'éclairement diffusé sur l'éclairement maximal pour et . Conclure sur l'efficacité de la diffusion par une zone homogène.
2.3 On envisage dans cette question une portion de sol horizontal, carrée de côtés b selon les axes x et y , inhomogène, décrite par avec et .
a- Montrer que l'onde diffusée est constituée de trois ondes se propageant dans les directions et qu'on déterminera en fonction de et . Comparer qualitativement avec le comportement d'un réseau plan par réflexion.
b- Parmi les trois ondes évoquées en 2.3.a, laquelle est susceptible d'interpréter l'écho reçu par l'antenne émettrice? A quelle condition sur et un tel écho peut-il effectivement être récupéré ? On constate une grande différence de luminosité entre un lac et les zones forestières environnantes: proposer une interprétation.
c- On constate qu'une inhomogénéité de la forme dans la direction du mouvement de l'avion est sans effet sur la plus ou moins grande luminosité de l'écho. Interpréter sans calculs.

On suppose l'antenne embarquée sur un avion se déplaçant à la vitesse à une altitude fixe par rapport au plan de référence . L'antenne émet vers le sol dans une direction moyenne située dans le plan yOz et faisant avec la verticale un angle (cf. Figure 5). On note la distance entre l'antenne S et le point d'intersection P du «rayon lumineux» ( ) avec le plan de référence .

Pour les applications numériques, on prendra (sauf indications contraires) , et .

3.1 L'antenne peut être assimilée à une fente carrée de centre et de côté située dans un plan perpendiculaire à la direction . Par simple analogie avec la théorie de la diffraction, en déduire que l'essentiel de la lumière incidente forme sur le sol une tache rectangulaire de largeurs selon et selon . Exprimer et en fonction de et et faire l'application numérique.
3.2 On néglige le mouvement de l'antenne pendant la durée qui sépare l'émission de l'onde incidente par l'antenne S de la réception de l'écho correspondant par S . On repère un point sol par (cf. Figure 5). Montrer qu'au prix d'une approximation qu'on explicitera, on a : .
3.3 En imagerie radar, on désire atteindre des résolutions spatiales de l'ordre de 20 mètres. Pour cela, l'onde émise par l'antenne est constituée d'impulsions régulières: l'onde sinusoïdale de fréquence est émise pendant une durée , puis l'antenne cesse d'émettre pendant une durée nécessaire pour que tous les échos de la bande illuminée déterminée en 3.1 aient le temps d'arriver, avant de réémettre pendant une durée , etc...
a- A quelle condition sur et , les points P et sont-ils «vus» séparément par l'imageur-radar? En déduire la valeur numérique de la résolution .

Comment faudrait-il choisir pour réduire davantage ? Quelle serait l'influence de ce choix sur l'énergie récupérée par le détecteur?
b- Evaluer numériquement le décalage temporel entre les échos diffusés par le point situé au bord de la tache illuminée par l'onde incidente (cf. question 3.1) et par le point P . Comparer ce décalage à et en déduire sans nouveau calcul la valeur littérale et numérique de la résolution dans la direction du mouvement de l'avion.
c- Quelle devrait être la longueur ' de l'antenne pour qu'on ait la même résolution spatiale selon et ? Conclure sachant que l'antenne est embarquée sur un avion.
d- Montrer que pour une altitude donnée, le choix de est imposé par un compromis entre les résolutions et .

En pratique, le procédé de synthèse d'ouverture, qui ne sera pas étudié dans ce problème, permet d'atteindre des résolutions en utilisant des signaux modulés en fréquence, même avec des radars embarqués sur satellite ( par exemple). Dans la suite de cette partie, on supposera la résolution parfaite .
3.4 Le procédé d'imagerie utilisé consiste à affecter au point M de coordonnées ( ) le point de l'image de coordonnées ( ). On constate expérimentalement qu'un tel procédé d'imagerie provoque des distorsions de forme lorsque le sol n'est pas plan. Par exemple en observant deux faces identiques d'une même montagne, on constate une modification entre la face située du côté de l'antenne et la face opposée. En s'inspirant de la Figure 6, construire sans calculs les points A', B', C' de l'image radar plane associés aux points et C de la montagne et interpréter l'observation.

Dans cette partie, l'antenne est supposée ponctuelle et elle est embarquée sur un satellite. L'interférométrie radar consiste à superposer les amplitudes instantanées des ondes diffusées par un point du sol associées à une image radar prise à un instant par une antenne et à une image radar prise à un instant par une antenne , en recalant dans les deux cas l'origine des temps au moment
de l'émission de l'onde radar par l'antenne. Du fait des mouvements du sol, un point du sol bouge de à entre les instants et . On suppose que où est la valeur de et évaluée à l'ordre zéro (cf. Figure 7).

4.1 Montrer que la différence de marche géométrique des échos reçus en et écrit :
.
4.2 Donner sans justification l'expression de l'éclairement résultant de la superposition des deux ondes en fonction de leurs éclairements respectifs et , ainsi que de et . Tracer l'allure du graphe de . Justifier sans calculs que le facteur de contraste des franges d'interférences est très proche de 1 : dans la suite on le prendra égal à 1 .
4.3 On s'intéresse tout d'abord à une zone calme, où le sol reste fixe entre les deux images radar. On pose et .
a- Exprimer en fonction de et .
b- Quelle est la forme des franges pour un sol plan? Calculer l'interfrange pour et . Les franges sont-elles visibles sachant qu'un pixel sur l'image numérique correspond à un carré de côté 20 m ?
c- La Figure 8a donne un interférogramme «brut». Indiquer ce qui dans cet interférogramme est probablement dû à la contribution de sol plan et ce qui est dû à la topographie, c'est-à-dire aux variations de la cote du sol par rapport à un niveau de référence .
d- Après élimination par le calcul de la contribution de sol plan on obtient l'interférogramme de topographie de la Figure 8b. En utilisant le résultat de la question 4.3.a, décrire qualitativement la topographie du lieu et évaluer un ordre de grandeur de la dénivellation maximale sachant que et . Quel lien existe-t-il entre l'interfrange et la pente du terrain? Justifier votre réponse.
4.4 Lorsque le sol est susceptible de bouger, il importe de séparer dans l'interférogramme d'une part les contributions de sol plan et de topographie et d'autre part la contribution du mouvement du sol. La méthode consiste à utiliser plusieurs interférogrammes pris avec des bases différentes. Par exemple les Figures 9 a et 9 b décrivent une zone
donnée avec et ; les Figures 10a et 10 b décrivent une autre zone avec et .
a- On remarque que sur les Figures 9 le nombre de franges n'évolue pas lorsqu'on fait varier d , alors que sur les Figures 10 ce nombre évolue. Dans lequel des deux cas peut-on conclure que les franges sont dues à un mouvement du sol ?
b- Après élimination par le calcul de la contribution de sol plan et de la contribution de topographie, l'interférogramme de la Figure 11a a été obtenu lors de l'étude d'un tremblement de terre. Montrer que seuls les déplacements le long de la ligne de visée sont perçus. Evaluer l'ordre de grandeur de l'écart maximum entre les glissements de terrain des différents points de la figure. En quoi l'interférogramme obtenu après traitement se rattache-t-il aux franges d'égale épaisseur? A titre indicatif, on donne sur la Figure 11b l'interférogramme obtenu par le calcul après modélisation du tremblement de terre ; la parfaite coïncidence des Figures 11a et 11b prouve à la fois l'efficacité de la détection interférométrique du séisme et de sa simulation.