Depuis son invention en 1925, le haut-parleur, qui est un transducteur électrodynamique, a subi peu de modifications fondamentales. Dans les années 70 , des constructeurs ont cherché à améliorer son fonctionnement en y introduisant des asservissements destinés à corriger les défauts de restitution du son. Si les résultats techniques furent probants, la commercialisation en fut abandonnée, notamment pour des problèmes de coût. Aujourd'hui, la miniaturisation des capteurs pour appareils portables et l'exigence de qualité dans la reproduction du son suscitent un regain d'intérêt pour ces techniques. Ce problème s'intéresse à des modélisations du haut-parleur, de sa fabrication et des asservissements.

Description et premières notations

Figure 1 - Vue en coupe et schéma de haut-parleur. 1 Membrane. 2 Suspension de centrage. 3 Bobine. 4 Saladier. 5 Aimant. 6 Suspension. 7 Cache-Poussière. Source : http ://autoson.fr/hp.php.

Le haut-parleur électrodynamique (Figures 1 et 2 ) est principalement constitué d'un aimant permanent et d'une bobine mobile enroulée sur un cylindre en matériau isolant et assujettie à se déplacer dans la direction axiale, notée

. L'aimant, dont les pôles sont deux cylindres concentriques, génère une induction magnétique radiale

(

est le vecteur radial unitaire) de module uniforme au niveau du périmètre des spires de la bobine. Cette bobine est modélisée par un ensemble de spires circulaires identiques fermées de rayon

, parcourues par le même courant. On note

la longueur du fil soumis à

sa résistance et

son inductance propre. Cette bobine est solidaire

Figure 2 - À gauche : schéma de principe du haut-parleur électrodynamique. Le champ

est dirigé

; à droite : modèle du HP dans le plan rz.

d'une membrane, modélisée par un solide plan rigide et soumise à des forces de rappel par le biais de suspensions élastiques modélisées par des ressorts de raideurs respectives

(radiale) et

(axiale).

Lorsqu'elle est animée de la vitesse

, la membrane subit une force de frottement

qui s'oppose au mouvement axial (

). Cette force est réputée modéliser globalement les frottements mécaniques, la déformation des parties élastiques et le couplage de la membrane avec le milieu. Les deux extrémités du fil de la bobine sont branchées aux bornes de sortie d'un amplificateur dont la résistance de sortie est nulle et qui délivre la tension

. On note

le courant circulant dans le bobinage. La bobine est ainsi soumise aux forces de Laplace, le couplage électrodynamique résulte de la fem induite

, associée au mouvement de la bobine dans

. Nous adoptons la convention de signe de la Figure 3,

étant en convention générateur.

Figure 3 - Conventions d'orientation des grandeurs algébriques.

On nomme équipage mobile l'ensemble constitué du fil, du cylindre isolant, de la membrane et des suspensions qui se déplacent sous l'action des diverses forces; la masse de l'équipage est notée

. Le modèle mécanique adopté pour ce dernier est représenté dans la partie droite de la Figure 2.

En régime sinusoïdal, on note

l'amplitude complexe associée à

, ainsi

pour la tension d'alimentation,

pour l'intensité du courant et

pour la vitesse, mesurée selon

1 Fonctionnement de base

1.1 Équation électrique

La vitesse étant mesurée selon , établir, en précisant le contour d'intégration, l'expression de la fem induite

Établir l'équation différentielle, dite électrique et notée [E], reliant à et à en fonction de et de la grandeur , caractéristique du dispositif.
Déduire de l'équation [E] de la question 2 que, lorsque la tension d'alimentation est sinusoïdale d'amplitude complexe et de pulsation , on a , en précisant l'expression de (l'indice affectant l'impédance signifie ici électrique).

1.2 Équation mécanique

Donner, en fonction de et de , l'expression de la force de Laplace qui s'exerce sur la bobine et préciser l'orientation de cette force.
Identifier par leur numéro, dans la partie droite de la Figure 1, les suspensions élastiques modélisées par des ressorts de raideurs respectives et .
L'équipage mobile est soumis à la pesanteur . Calculer le défaut d'alignement maximal, noté , de la bobine dans l'entrefer, pour et . À titre documentaire, l'amplitude des déplacements axiaux de la bobine est, pour le haut-parleur et le régime de fonctionnement qui nous intéressent ici, supérieure à .
On considère ici le mouvement axial de la membrane.
(a) À partir de la relation, que l'on vérifiera,

établir l'équation différentielle, dite mécanique et notée [M], du problème.
(b) Exprimer l'équation (2) en régime permanent sinusoïdal sous la forme

en précisant l'expression de

(l'indice

signifie ici mécanique).
8. Exprimer l'amplitude complexe,

, de la force de Laplace en fonction de l'amplitude complexe

du courant dans la bobine ; exprimer le rapport

; vérifier la dimension du rapport

.
9. Pour quelle raison peut-on se limiter à l'étude du dispositif en régime sinusoïdal forcé ?

1.3 Aspects énergétiques

Déduire de l'équation [E] de la question 2 un bilan énergétique électrique.
Déduire de la relation (2) de la question 7 (a) un bilan énergétique mécanique.
Que peut-on dire du couplage électromécanique, c'est-à-dire du transfert énergétique entre la puissance électrique de la fem induite associée au mouvement de l'équipage et la puissance mécanique des forces de Laplace? Détailler alors la manière dont la puissance délivrée par le générateur se répartit entre formes mécaniques, magnétique et dissipatives.
Établir que, en régime périodique (pas nécessairement harmonique), les valeurs moyennes dans le temps, calculées sur une période et notées . $é$

1.4 Phénoménologie de la suspension pneumatique en enceinte close

Le haut-parleur est fixé sur une enceinte close, le caisson, de volume au repos

. La pression de l'air extérieur est notée

. Lorsque la membrane, assimilée à une surface plane d'aire

se déplace de la petite quantité

, la variation de pression à l'intérieur du caisson est notée

. L'évolution de l'air confiné dans le caisson est isentropique.
14. Établir l'expression de la force pressante qui s'exerce sur la membrane sous la forme

en exprimant

en fonction

et de l'indice isentropique

.
15. Vérifier la dimension de

et, à partir d'estimations de

, estimer son ordre de grandeur. Comparer votre résultat à

2 Impédance électrique du haut-parleur

En vue des asservissements, on veut caractériser le haut-parleur par des mesures simples, dont le principe est étudié ci-dessous.

2.1 Schéma électrique équivalent du haut-parleur

On bloque l'équipage mobile et on alimente la bobine, d'abord avec un courant continu, ensuite avec un courant sinusoïdal.
(a) Montrer que l'on peut déduire de ces mesures les grandeurs et .
(b) On trouve et . Sur quelle plage de fréquences s'écarte-t-il de plus de de ?

Le haut-parleur en question étant utilisé dans les graves, on ne tiendra désormais plus compte de

, sauf à la question 24.
17. On pose

, où l'on rappelle que

.
(a) Vérifier que la dimension de

est celle d'une résistance.
(b) Montrer que, en régime permanent sinusoïdal, l'impédance

, s'écrit, en termes des paramètres

, dont on précisera l'expression et la signification physique

Dans le plan complexe, défini à la question 17 est représenté par une droite parallèle à l'axe des imaginaires et d'abscisse unitaire. On admettra que l'inverse de est représenté par le cercle de la figure 4.

Figure 4 - L'inverse d'une droite parallèle à l'axe des ordonnées est le cercle centré sur l'axe des abscisses, passant par l'origine et tangent à cette droite.

(a) Quelle est la partie utile de ce cercle ?
(b) Quelle est l'intérêt de cette représentation pour l'étude de l'impédance

?
19. On pose

puis

.
(a) Exprimer le module

et la phase

en fonction de

.
(b) Donner les valeurs de

pour lesquelles

est extrémal et les expressions respectives,

de ces extrema; quelle est la phase associée à chacun de ces extrema?

2.2 Mesures électriques

La Figure 5 représente le schéma de principe de la mesure des deux composantes ( ) de l'impédance du haut-parleur. L'amplificateur opérationnel (AO) parfait fonctionne en régime linéaire. La résistance est une impédance de référence. Le potentiomètre permet d'ajuster la tension de la borne + de l'AO de telle manière que soit constant, seule la fréquence varie. On note la tension aux bornes du haut-parleur et la tension entre la masse et la sortie de l'AO. Les trois mesures sont faites avec trois voltmètres de même type.
(a) Expliquer le principe de la mesure.
(b) Justifier que, avec et , on ait, à toute fréquence, , avec .
(c) Déduire de la mesure de et .

Figure 5 - Principe du dispositif de mesure de l'impédance électrique du haut-parleur.

Figure 6 - Amplitude (à gauche) et phase normalisée

(à droite) de

en fonction

La Figure 6 représente le résultat, après traitement, de mesures de la partie motionnelle de l'impédance, et ont été définis à la question 17).
(a) Donner les expressions littérales des pulsations et pour lesquelles la phase de cette grandeur vaut respectivement et .
(b) Comment déduire de ces deux pulsations la valeur du coefficient ?
(c) Cette observation est-elle toujours possible ?
On dispose uniformément sur la membrane du haut-parleur un film souple de masse . Justifier l'existence et donner l'expression de la nouvelle pulsation propre, notée , du système.
À partir des résultats des questions 17 à 22 , déduire des données expérimentales l'ensemble des paramètres du système, à savoir et . Application numérique : , et .
Les relations établies dans les questions précédentes de cette partie perdent de leur validité aux fréquences élevées : déjà, on ne peut plus négliger le terme dû à l'inductance propre de la bobine; on peut en revanche négliger devant et, en référence aux relations 3 de la question 17, convenir provisoirement que

Pour une certaine valeur

, on observe sur un oscilloscope fonctionnant en mode

(non représenté sur la Fig. 5) que le courant et la tension aux bornes du haut-parleur sont en phase.
(a) Que voit-on alors sur l'écran de l'oscilloscope?
(b) Exprimer

en fonction de

.
25. En raison de l'effet de peau, la relation (4) reste approchée : on considère pratiquement que, dans un conducteur de conductivité

et en régime sinusoïdal de fréquence

, seule la partie extérieure d'épaisseur

contribue à la conduction. La résistance effective du fil est-elle augmentée ou diminuée du fait de l'effet de peau?

2.3 Mesures interférométriques

Pour mesurer la vitesse et le déplacement de la membrane sans perturber la masse du hautparleur, on utilise la technique sans contact de vibrométrie laser décrite ci-après.

L'interféromètre de Michelson de la Figure 7 est réglé pour donner des anneaux. Un bloc séparatricecompensatrice, (SC), est inséré dans le dispositif, de telle sorte que les faisceaux réfléchis par (M) et le haut-parleur (HP) soient perpendiculaires. On s'efforce de faire en sorte que les différents faisceaux subissent le même nombre de réflexions et de réfractions et que les amplitudes dans chacun des bras de l'interféromètre soient égales. On convient pour simplifier que l'indice dans l'interféromètre est partout égal à 1 , ce qui revient à confondre les chemins géométrique et optique. On note

les distances correspondant à la configuration de repos du système et l'on pose

(ce qui définit

en fonction de la longueur d'onde,

, de la source monochromatique utilisée).

2.3.1 Analyse temporelle : mesure de l'amplitude vibratoire

L'objet de la Figure 7 est la membrane du haut-parleur.

Figure 7 - Principe de fonctionnement d'un vibromètre laser. L'ensemble laser-élargisseur de faisceau est symbolisé par une source ponctuelle placée au foyer objet d'une lentille convergente

. Le faisceau de référence est dirigé vers le miroir fixe (M) tandis que l'autre faisceau est envoyé en incidence normale vers le centre de l'objet. Dans la partie 2.3.1, cet objet est la membrane du haut-parleur ; dans la partie 2.3.2, cet objet est un petit miroir plan. Le faisceau sortant de l'interféromètre est détecté sur le photodétecteur

, qui produit une tension

proportionnelle à l'intensité lumineuse qu'il reçoit.

Commenter l'expression (5) ci-dessous de la tension de repos , en indiquant respectivement le sens et l'origine du coefficient et celui de l'argument de la fonction cosinus. À quoi peut être due une valeur de différente de 1 ?

La position au repos du dispositif étant, dans cette question seulement, telle que l'ordre d'interférence en soit nul, la membrane du haut-parleur est mise en vibration harmonique : . Montrer que l'on peut déterminer en comptant le nombre de cycles complets ( ) de rotation de phase du signal produit par le photodétecteur au cours d'une période de vibration de la membrane.
Calculer pour et .

2.3.2 Analyse spectrale : mesure de la fréquence vibratoire

Le haut-parleur de la Figure 7 est remplacé ici par un petit miroir plan. L'interféromètre est alors exposé à l'onde acoustique émise par le haut-parleur (mais il est isolé mécaniquement de ce dernier). Cette onde oscille harmoniquement à la pulsation

. On admet qu'elle introduit un déphasage supplémentaire

dans l'expression de la phase relative entre les deux faisceaux de l'interféromètre, avec

. L'origine de cette modulation de phase inclut la modulation des trajets optiques. On pose ainsi

Comment l'analyse de renseigne-t-elle sur l'état vibratoire de la membrane?

3 Fabrication d'une bobine multi-couches

3.1 Principe d'une Machine de bobinage

Le trancannage consiste ici à enrouler automatiquement un fil, spire par spire, sur une bobine. La Figure 8 montre un dessin de trancanneuse. La Figure 9 représente le schéma cinématique d'une trancanneuse multicouches, la légende en décrit le principe.

Figure 8 - Vue d'artiste d'une trancanneuse. Source : http ://vis-trancannage.com

Figure 9 - Schéma cinématique du trancannage. Le chariot (1) est guidé en translation par une liaison pivot glissant associée en parallèle à un système de guidage assurant la transformation du mouvement de rotation de l'arbre d'entrée (3) en un mouvement de translation de ce chariot par rapport au bâti (0). Le diamètre des poulies est noté

, avec

et 4 .

Le graphe des liaisons entre les éléments numérotés du schéma cinématique de la Figure 9 est donné, à titre indicatif, Figure 10.

Le système de guidage (Figure 11) est composé de trois roulements précontraints de façon à assurer un contact ponctuel en trois points de l'arbre (3). Ces trois roulements sont inclinés alternativement par rapport à l'axe de l'arbre, selon des angles opposés et réglables notés respectivement

. Un système mécanique permet de changer instantanément le signe de cet angle pour chaque roulement, donc le sens de translation du chariot dès que ce dernier arrive en butée de fin de course. On note

le rayon de l'arbre et

sa vitesse de rotation orientée dans le sens trigonométrique dans le plan

.
30. Soient A le point de contact entre l'arbre (3) et la bague intérieure (5) d'un roulement (cf. Fig. 11) et O le point sur l'axe de rotation tel que

.
a) En exprimant la condition de non-glissement en A des solides en contact, exprimer la vitesse

Figure 10 - Graphe des liaisons de la Figure 9.

Figure 11 - Guidage assurant la transformation rotation/translation. Le repère (

) est lié au bâti. L'effort sur les roulements est noté F dans le haut de la Figure. Source : http ://www.uhing.com/en/rolling-ring-drive/

de glissement

en fonction de

. On pourra trouver avantageux d'introduire le vecteur unitaire

.
b) Vérifier que le changement de signe de

inverse le sens de déplacement du chariot.
31. Justifier l'assimilation du système de transformation de mouvement à une liaison hélicoïdale à pas réversible et réglable. Préciser le pas

de cette liaison équivalente.
32. Justifier succinctement l'intérêt de ce choix de transformation de mouvement par rapport à des solutions classiques de réalisation de liaison hélicoïdale de type vis-écrou.

3.2 Réglage du système en fonction du diamètre du fil

On suppose dans tout ce qui suit que la bobine est à spires jointives.
33. Donner l'expression de la vitesse de déplacement du chariot de trancanage, notée

, en fonction de la vitesse de rotation

du tambour et du pas

de l'enroulement du fil de bobine (distance entre les centres de deux spires successives). En déduire une relation entre

.
34. Déduire des questions précédentes la relation permettant de régler l'angle

pour la réalisation d'une bobine constituée d'un fil de diamètre

.
35. Calculer l'angle

permettant de réaliser une bobine constituée d'un fil de diamètre

. On donne

.
36. Le système de réglage fait que l'angle

ne peut prendre que des valeurs discrètes. Quelles modifications peut-on apporter au système et/ou sur quels composants mécaniques peut-on facilement agir afin d'adapter le mouvement de trancannage au diamètre du fil?

4 Asservissements du haut-parleur

Quels phénomènes physiques, ignorés ici, peuvent-ils altérer la fidélité de la réponse du hautparleur par rapport à son alimentation électrique?
Dans ce qui suit, nous intéresserons à des principes d'asservissement par gain (sans correcteur), sans nous préoccuper des types de capteurs qui les réalisent, ni des critères de choix en faveur de tel ou tel type, ni du lien précis entre la grandeur détectée par les capteurs et l'état vibratoire de la membrane.

4.1 Préliminaire : Courbe de réponse de la membrane

La grandeur provisoirement considérée ici comme pertinente pour la restitution du signal sonore est l'accélération de la membrane, notée

dont l'amplitude complexe est notée

. En considérant d'une part l'expression de

obtenue à la question 8 , d'autre part celle

obtenue à la question 17 , on trouve (et l'on admettra) que, en termes de la variable de Laplace

, l'expression de la fonction de transfert en boucle ouverte

est

avec

.
38. Donner l'allure de

pour

. Pour un haut-parleur, est-il avantageux que la courbe de gain soit plate ou piquée?

4.2 Asservissement de vitesse

Conformément au principe et au schéma fonctionnel représentés Figure 12, un capteur externe détecte la vitesse de la membrane et réinjecte en contre-réaction à l'entrée la grandeur électrique représentant cette vitesse. On note

(en V.s.m

) la valeur du gain en contre-réaction.
39. Exprimer la fonction de transfert

en boucle fermée sous la forme

Comparer et respectivement aux grandeurs et de la relation (7). En déduire les modifications apportées par cet asservissement par rapport au fonctionnement en boucle ouverte, tant pour la courbe de réponse harmonique que pour la réponse transitoire à un échelon.

Figure 12 - Principe et schéma fonctionnel de l'asservissement en vitesse du haut-parleur.
41. La partie droite de la Figure 12 montre que l'accélération se déduit de la vitesse par le biais d'un filtre dérivateur. Cette manière de faire vous semble-t-elle pratiquement avantageuse?

4.3 Asservissement d'accélération

On réalise à présent une contre-réaction en détectant l'accélération. On note

la valeur du gain de la boucle en contre-réaction.
42. Représenter le schéma fonctionnel du système. En déduire la fonction de transfert

en boucle fermée sous la forme

Comparer et aux grandeurs et de la relation (7). En déduire les modifications apportées par cet asservissement par rapport au fonctionnement en boucle ouverte, tant pour la courbe de réponse harmonique que pour la réponse transitoire à un échelon.

4.4 Asservissement mixte par matériaux actifs

Il est avantageux, pour augmenter la bande passante, sans modifier l'amortissement, de combiner les deux systèmes d'asservissement des deux parties précédentes. Pour ce but, un matériau actif est collé sur la membrane du haut-parleur.

Figure 13 - Membrane de haut-parleur recouverte d'un matériau actif.

Ce matériau (Figure 13) délivre, après traitements électroniques appropriés, deux tensions en sortie :

, où les coefficients

sont respectivement les efficacités en vitesse et en pression. On réalise la contre-réaction mixte en injectant la tension

à l'entrée du haut-parleur.
44. Quel est l'avantage de disposer d'un capteur de pression directement sur la membrane, plutôt qu'à une distance finie de celle-ci?
45. Représenter le schéma fonctionnel du système.
46. Un calcul standard montre que l'expression de la fonction de transfert

en boucle fermée entre l'accélération

et la tension d'entrée

est

avec

Comparer le gain, la fréquence de coupure et le coefficient de qualité obtenus ici avec les expressions obtenues en boucle ouverte.
47.

étant donné, comment déterminer

pour que le coefficient de qualité reste inchangé du fait de la contre-réaction?
48. La fonction de transfert en boucle ouverte fait intervenir

. Est-il possible d'ajuster la fonction de transfert en boucle fermée de manière à pouvoir obtenir, pour un but donné, tout