Donner l'expression de l'énergie potentielle d'interaction des deux masses.
Déterminer la position de leur centre d'inertie . Quelle est la trajectoire de ? Déterminer sa vitesse.
Calculer l'énergie cinétique des deux masses dans le référentiel barycentrique; montrer qu'elle est égale à celle d'une masse ponctuelle de vitesse et de masse que l'on déterminera en fonction de et .
Montrer que le mouvement relatif de par rapport à , caractérisé par , est équivalent à celui de cette masse ponctuelle soumise à une force que l'on explicitera et dont on précisera les caractéristiques.
À quelle condition portant sur et les deux masses restent-elles à distance finie l'une de l'autre?
6.a) À quelle condition sur et les deux masses restent-elles à distance fixe l'une de l'autre?
b) Déterminer dans ce cas la période de leur mouvement, ainsi que la vitesse angulaire , en fonction des masses, de et .

II

On étudie un cas particulier du problème à trois corps « restreint », à savoir :

Deux masses et sont beaucoup plus grandes que la troisième , soit et . La masse est supposée ponctuelle comme et .
Les deux masses et , à distance constante l'une de l'autre, effectuent un mouvement de rotation à la vitesse angulaire autour de leur centre d'inertie . Ce mouvement, décrit au I.6, n'est pas affecté par la présence de la troisième masse .

On ne considère dans cette partie que les situations où les trois masses restent alignées au cours du temps. La masse

est située au point

. On prendra la direction

comme axe

d'origine

, avec

vecteur unitaire.

Exprimer, en fonction de et à l'aide des paramètres du système, la composante selon de la force totale qui s'exerce sur la masse dans le référentiel tournant à la vitesse angulaire .
Montrer que dans ce référentiel tournant cette composante dérive d'une fonction qui joue le rôle d'une «e énergie potentielle ». Expliciter .
Effectuer une étude qualitative de en fonction de ; par une analyse graphique, montrer qu'il y a trois positions «d'équilibre » possibles pour la masse et les situer qualitativement par rapport aux masses et .
Discuter de la stabilité de ces positions d'équilibre dans le référentiel tournant, vis-à-vis des déplacements selon l'axe .

III

Trois masses, a priori différentes, et sont situées respectivement aux trois sommets , d'un triangle équilatéral de côté ; soit leur centre d'inertie.
étant la résultante des forces de gravitation s'exerçant sur la masse , montrer que :

En déduire que, si les masses tournent dans leur plan avec une certaine vitesse angulaire commune que l'on déterminera, elles sont en équilibre relatif.

On limite, dans toute la suite de cette partie, l'étude au cas où, comme en II, l'une des masses,

, est beaucoup plus petite que les deux autres

, dont le mouvement circulaire n'est pas modifié par

. On prend la direction

comme axe

. La masse

, placée en

, est repérée par

de coordonnées (

). On s'intéresse à la stabilité de la masse

au voisinage du sommet

du triangle équilatéral de base

, en limitant d'abord
l'étude aux mouvements dans ce plan. On oriente l'axe

de telle sorte que l'ordonnée de

soit positive.
3. Écrire, dans le référentiel tournant, « l'énergie potentielle »

dont dérive la somme des forces gravitationnelles et d'inertie d'entraînement agissant sur la masse

; on posera

.
4. Écrire l'expression vectorielle de l'accélération

de la masse

dans le référentiel tournant, à l'aide du vecteur rotation

, de la vitesse

dans ce référentiel et de

où

Dans la suite, on notera

, etc..
5. En vue d'étudier la stabilité de

au voisinage du point

, on pose

, où (

) sont les coordonnées du point d'équilibre

de la masse

, dont on ne demande pas le calcul explicite.

Écrire les équations du mouvement, en se limitant aux termes du premier ordre en

. Pour alléger l'écriture, on notera :

etc..
6. On cherche des solutions du type :

, où

sont des constantes.

Montrer que

doit vérifier l'équation caractéristique :

On admet que si l'on pose :

et que l'on évalue les dérivées partielles figurant dans l'équation caractéristique de la question III.6, la variable

vérifie l'équation du second degré suivante :

Soit

le discriminant de cette équation.
a) Que conclure sur la stabilité de la position d'équilibre si

?
b) Même question si

.
c) En déduire les valeurs de

pour lesquelles la position d'équilibre est stable.
8. Pour le système Lune - Terre, le rapport de la masse légère

à la masse totale (

) est

. En considérant ce système comme isolé, quelles conclusions en tirez-vous quant à la stabilité de la position d'équilibre d'un petit objet dont la position formerait un triangle équilatéral avec les centres de la Terre et de la Lune?

Même question pour le système Jupiter - Soleil pour lequel

. L'observation des « planètes troyennes », de même période de révolution que Jupiter autour du Soleil et faisant avec lui et le Soleil un triangle équilatéral, conforte-t-elle votre conclusion?
9. Par une analyse qualitative des forces s'exerçant dans le référentiel tournant, étudier la stabilité de la position

vis-à-vis de petits mouvements orthogonaux au plan

Deuxième problème

Quelques propriétés des gaz réels et des mélanges sous deux phases

Dans tout le problème, la température reste fixée et est notée

désigne la constante des gaz parfaits.

On considère un système formé d'un seul constituant.
a) Établir la relation entre l'enthalpie libre à la pression notée , l'enthalpie libre à la pression notée et le volume du système.
b) Que devient cette relation dans le cas où le système est un solide ou un liquide peu compressible?
c) Que devient la relation dans le cas où le système est constitué par moles de gaz parfait ? En déduire l'expression du potentiel chimique (enthalpie libre molaire) du constituant à la pression en fonction du potentiel chimique standard et de la pression standard .
Dans le cas d'un gaz réel la forme de l'expression précédente du potentiel chimique est conservée à condition de remplacer par la fugacité , fonction de . On se propose de trouver le lien entre et .
a) Établir la relation entre , le volume molaire du gaz réel et le volume molaire du gaz parfait associé. On utilisera le fait que, lorsque la pression tend vers 0 , le gaz réel se comporte comme un gaz parfait.
b) On appelle le facteur de compressibilité, qui représente un écart du comportement du gaz réel par rapport au gaz parfait associé :

Montrer que

peut s'écrire :

c) On propose comme équation d'état d'un gaz réel l'équation de Van der Waals :

dans laquelle

désignent deux constantes caractéristiques du gaz étudié. Quelle interprétation physique peut-on donner de ces constantes?

En effectuant un développement limité de

au premier ordre en

, calculer une expression approchée de

Application numérique. On donne pour l'ammoniac les valeurs numériques suivantes:

Calculer

pour

. On prendra

. L'un des deux paramètres

joue-t-il un rôle prépondérant? Comment cela se traduit-il sur le volume molaire

?
3. On étudie le comportement d'un mélange de constituants en équilibre sous deux phases liquide et gazeuse.

On peut établir (mais ce n'est pas demandé) pour le constituant

l'expression suivante pour la fugacité

dans laquelle

désigne la pression de vapeur saturante du constituant

pur,

son volume molaire à l'état liquide,

son activité dans la phase liquide,

sa pression dans la phase gazeuse,

son facteur de compressibilité.

Que devient cette expression dans les cas suivants :
a) Le liquide est incompressible sur l'intervalle de pression étudié.
b) Le volume molaire du constituant

liquide est négligeable.
c) La condition de la question précédente est réalisée et la phase gazeuse est un mélange idéal de gaz parfaits.
d) Les conditions de la question précédente sont réalisées et le liquide est un mélange idéal où

désigne la fraction molaire du constituant

dans la phase liquide.
4. La relation de la question 3.d) est vérifiée pour les constituants du mélange benzène (1)-toluène (2) aux pressions faibles et modérées.

désignent les fractions molaires du constituant

dans la phase liquide et dans la phase gazeuse respectivement. On donne les pressions de vapeur saturante à

. Établir les courbes isothermes d'ébullition et de rosée sur le diagramme représentant

en fonction respectivement de