L'usage de calculatrices électroniques de poche à alimentation autonome, non imprimantes et sans document d'accompagnement, est autorisé, une seule à la fois étant admise sur la table ou le poste de travail, et aucun n'échange n'est autorisé entre les candidats.

Si , au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Le sujet comporte 16 pages

Ce sujet se propose de donner une première approche du problème du contrôle de vibration pour les structures élancées. Il s'agit, par exemple, d'éviter les résonances destructives pour un pont en construction dont une extrémité du tablier pend dans le vide. Pour cette première étude, on ramènera le problème à l'étude d'une poutre. La première partie aborde la modélisation d'un tel milieu, la seconde l'étude vibratoire, la troisième propose une discrétisation du problème de manière à aborder dans la quatrième partie la détection et le contrôle de l'état de la structure. Malgré la progression logique précédemment exposée, ces parties peuvent être traitées indépendamment.

Figure 1: Géométrie d'une poutre au repos

Notations générales

Soit une fonction de la variable d'espace et de la variable de temps , on note la dérivée partielle par rapport au temps de
Pour une matrice (ou un vecteur) , on note la transposée de cette matrice.

1 Étude du modèle de poutre

1.1 Hypothèses, vocabulaire et notations

Géométrie

Une poutre est un milieu solide dont une dimension est très supérieure aux deux autres (on parle de structure élancée). On se place ici dans le cadre simple où, au repos, la poutre est un prisme droit à section rectangulaire. On munit la poutre d'un repère naturel cartésien (

) où

est le centre de la face de gauche, on note (voir figure 1):

longueur de la poutre ( );
demi-hauteur de la poutre ;
demi-profondeur de la poutre ;
aire des sections;
ensemble des points d'abscisse au repos ("section droite");
centre de ;
"ligne moyenne".

Inertie

On suppose la poutre homogène sur chaque section et on note :

la masse linéique de la poutre ( );
moment d'inertie linéique de la section autour de ( ) (kg.m).

Cinématique (déformations)

On s'intéresse à un problème de flexion plane: la ligne moyenne se déforme dans le plan (

), et on suppose que les allongements selon

sont négligeables (voir figure 2). L'hypothèse fondamentale est que chaque section

reste plane au cours de la transformation. On introduit alors pour chaque instant

(voir figure 3 ) :

le déplacement de selon (également appelé flèche);
la rotation selon de la direction normale à la ligne moyenne par rapport à la verticale ;
la rotation selon d'une section droite par rapport à la direction normale à la ligne moyenne.

Figure 2: Déformation d'une poutre

Figure 3: Déformation d'une poutre - schématisation et paramétrage

Efforts intérieurs

Les efforts intérieurs ou efforts de cohésion représentent les efforts qu'une partie de la matière exerce sur le reste de la poutre : si on suppose que l'on coupe la poutre selon une section, les efforts de cohésion en cette
section sont les efforts qu'il faudrait appliquer sur la partie gauche de la poutre pour que son état ne soit pas modifié. Étant donnée la cinématique de sections rigides, on peut modéliser les efforts de cohésion sur chaque section par un torseur

représente donc les efforts appliqués sur la partie gauche de la section

par la partie droite. Les éléments de réduction de

sont une résultante

(effort tranchant) et un moment en

(moment fléchissant)

(voir figure 4).

Figure 4: Schématisation des efforts intérieurs sur la section

Efforts extérieurs

Pour solliciter la poutre en flexion, on considère un effort linéique réparti

, appliqué sur l'ensemble de la poutre, et un éventuel effort concentré

appliqué sur l'extrémité droite de la poutre (point

), voir figure 5. Notamment

peut servir à modéliser le poids de la poutre.

Figure 5: Schématisation des efforts extérieurs répartis et concentrés

Petites perturbations

L'hypothèse des petites perturbations consiste à supposer les déplacements et les déformations suffisamment petits pour pouvoir raisonner sur la configuration au repos pour obtenir les équations d'équilibre, et pour pouvoir
assimiler la dérivation le long de la ligne moyenne à une dérivation par rapport à la variable

. En conséquence, on peut systématiquement considérer les angles

"petits" et linéariser les fonctions trigonométriques.

1.2 Préliminaires

Question 1.1 Donner les expressions de

en fonction de

.
Question 1.2 Donner la relation différentielle entre

(on rappelle que

1.3 Obtention des équations d'équilibre

Question 1.3 En appliquant le principe fondamental de la dynamique à un tronçon élémentaire soumis à un chargement linéique (voir figure 6), trouver deux équations aux dérivées partielles reliant

Figure 6: Équilibre sous chargement réparti

Question 1.4 En considérant l'équilibre d'un tronçon élémentaire à l'extrémité droite de la poutre (voir figure 7), déterminer la valeur de l'effort tranchant et du moment fléchissant en

Figure 7: Équilibre sous chargement concentré à l'extrémité

1.4 Analyse locale des efforts

L'objectif de ce passage est d'expliciter les champs

définis sur chaque section par des contributions élémentaires réparties sur chaque section. On définit ainsi en chaque point

de la section

(on a

) un effort surfacique élémentaire (on parle de vecteur contrainte, voir figure 8):

est le torseur associé à la répartition des efforts

sur la section

Figure 8: Vecteur contrainte

Question 1.5 On suppose que la contrainte normale est indépendante de z et varie linéairement en

. Montrer que la relation entre

se met sous la forme

où

est un coefficient géométrique à déterminer.

Question 1.6 Des raisons de continuité et de symétrie conduisent à envisager la contrainte tangentielle sous la forme

. Montrer que la relation entre

se met sous la forme

où

est un coefficient géométrique à déterminer.

1.5 Relation avec les déformations

On donne la loi de l'élasticité linéaire (loi de Hooke) qui relie l'extension à la contrainte normale :

où

traduit l'allongement d'un brin de longueur originale

(voir figure 9 ).

est appelé module de Young.

Figure 9: Mise en évidence de l'allongement

Question 1.7 Trouver la relation entre

. En déduire la relation entre

On admet la relation suivante sur les efforts tranchants,

est appelé module de cisaillement.

1.6 Application

On considère le problème, indépendant du temps, d'une poutre encastrée sur sa face gauche (

) soumise à son propre poids (figure 10).

Figure 10: Poutre pesante encastrée

Question 1.8 Déterminer les champs

.
Question 1.9 Évaluer

, montrer que pour une configuration élancée (rapport

"grand", par exemple supérieur à 20),

devient négligeable devant

dès que l'on s'éloigne de l'encastrement (ie

pas trop près de 0 ). Pour les ordres de grandeur, on peut prendre

1.7 Poutres d'Euler-Bernoulli

Ces poutres sont celles pour lesquelles on choisit de négliger

. On a donc, dans les équations précédentes,

est alors obtenu par les équations d'équilibre (questions 1.3 et 1.4) et non plus par la relation (4).

On considère, toujours dans le cas statique (pas de dépendance en temps), une poutre d'Euler-Bernoulli non-pesante encastrée sur sa face gauche

) et soumise à un effort

à son extrémité droite (figure 11).

Figure 11: Poutre encastrée chargée à son extrémité

Question 1.10 Déterminer le champ v. Que vaut la flèche en bout de poutre

Question 1.11 Placer le résultat de la poutre pesante obtenu précédemment dans le cadre des hypothèses actuelles, puis déterminer pour quel effort

on obtient la même flèche

en bout de poutre.

1.8 Poutre d'Euler-Bernoulli en dynamique

Question 1.12 Mettre les équations obtenues aux questions 1.3, 1.4 et 1.7 dans le cadre des hypothèses d'Euler-Bernoulli (conserver les termes dynamiques). Se ramener à des équations différentielles faisant intervenir les inconnues

(penser à donner également les conditions aux limites).

Question 1.13 Montrer que, sous les mêmes hypothèses d'élancement, le terme d'inertie en rotation (terme en

) peut être négligé devant le terme d'inertie en translation (terme en

) (pour les calculs d'ordres de grandeur, on peut utiliser

) .

2 Étude d'une poutre en vibration

On admet dans cette partie qu'une poutre droite d'Euler Bernoulli encastrée sur sa face gauche et soumise à un effort de flexion réparti

et un effort concentré

en son extrémité droite, au repos à l'instant

est gouvernée par un système différentiel de la forme :

2.1 Analyse modale - méthode directe

On s'intéresse pour l'instant à la recherche de solution du système (

) homogène (

), oscillant dans le temps à la pulsation

, autrement dit en notation complexe

(où

est solution de

est un réel positif).

Question 2.1 Quelle équation différentielle vérifie

? Préciser les conditions aux limites.

Question 2.2 Montrer que pour obtenir des solutions en

non triviales (ie non nulles)

doit vérifier une relation de la forme :

avec

Question 2.3 Montrer schématiquement que cette relation admet une infinité dénombrable de solutions notées

(desquelles on déduit

). Exprimer les

associés sous la forme d'une fonction de (

), montrer qu'ils sont définis à une constante multiplicative près.

Pour la suite on conservera la notation

sans chercher à employer leur expression analytique.

2.2 Étude des modes propres

On définit l'espace de fonctions

On définit les formes bilinéaires suivantes pour

des fonctions de

(on note

la dérivée de

selon

) :

Forme bilinéaire de masse :
Forme bilinéaire de rigidité :

Question 2.4 Vérifier que

sont des produits scalaires sur

.
Question 2.5 Montrer que les modes propres (

) vérifient la relation suivante pour tout champ

Question 2.6 En déduire que pour

, sachant que

, les modes

sont orthogonaux au sens de

On introduit le quotient de Rayleigh

Question 2.7 Que vaut le quotient de Rayleigh d'un mode propre?
Par la suite on choisit de normer les

par la masse :

.
Question 2.8 Montrer que les modes propres rendent stationnaire le quotient de Rayleigh ou autrement dit montrer que la différentielle de

est nulle en

(on pourra s'intéresser à un champ légèrement "écarté" par rapport à un mode propre (

) et étudier les variations de

autour de

2.3 Utilisation des modes propres pour une étude transitoire

On admet que n'importe quel champ de

peut s'écrire comme la combinaison linéaire de modes propres (éventuellement en nombre infini). On s'intéresse maintenant au problème non-homogène et on choisit de chercher une solution

sous la forme suivante (le nombre de modes considérés, noté

, est un entier fixé a priori) :

Question 2.9 Par le même raisonnement qu'à la question 2.5 montrer que les fonctions

vérifient des équations différentielles découplées.

Question 2.10 Donner l'expression des

pour le cas d'une poutre au repos pour

puis soumise à un effort concentré constant en bout de poutre.

2.4 Utilisation des modes propres pour une étude de vibrations forcées

On considère maintenant que la poutre est soumise uniquement à un effort linéique

et que la dépendance en temps de

est une sinusoïde de pulsation

Question 2.11 Donner l'équation différentielle vérifiée par chaque coefficient

. Donner l'expression de la solution (sans chercher à déterminer les constantes d'intégration).

Question 2.12 Que se passe

-il quand

tend vers une pulsation propre (

)? Quel est le nom de ce phénomène, quelles peuvent en être les conséquences?

3 Discrétisation du problème

Dans le cas général d'une structure complexe, il est rare d'obtenir un modèle continu exploitable, on applique alors une démarche de discrétisation. De manière à contourner le problème de la discrétisation des équations aux dérivées partielles, on choisit ici de proposer deux modèles discrets distincts pour représenter, de manière approchée, la poutre. On étudie donc une poutre décomposée de deux manières :

par une succession de ressorts de traction verticaux de raideur reliant des segments rigides (appelés "éléments") horizontaux de longueur (voir figure 12); le dernier élément est chargé par un effort concentré ,
par une succession de ressorts de torsion de raideur reliant des segments rigides (appelés "éléments") de longueur (voir figure 13); le dernier élément est chargé par un moment de flexion .

Figure 12: Première discrétisation : ressorts de traction

Figure 13: Deuxième discrétisation : ressorts de torsion

On note pour

(avec

). Le segment

forme le

élément. On appelle

l'ordonnée du point d'abscisse

l'angle formé par le

élément de poutre par rapport à l'horizontale. On néglige les actions de la pesanteur.

3.1 Formalisme séquentiel

Question 3.1 Pour la première discrétisation, écrire l'équilibre d'un élément de poutre, en déduire une récurrence entre les

. Écrire l'équilibre du dernier élément.

Question 3.2 Dans le cadre statique (accélération négligeable), déterminer les

Question 3.3 Pour la seconde discrétisation, calculer l'équilibre d'un élément de poutre, en déduire une récurrence entre les (

). Écrire l'équilibre du dernier élément.

Question 3.4 Dans le cadre statique, déterminer les

. On suppose

, relier les (

) aux (

) et trouver l'expression des

Les modèles discrets sont fondamentaux pour l'étude de modèles donnés par des équations aux dérivées partielles. Un critère essentiel pour les évaluer est leur limite quand on raffine la discrétisation.

Question 3.5 On s'intéresse au passage à la limite des deux discrétisations pour des problèmes statiques :

Vers quelle fonction de converge quand pour la première discrétisation (pour des raisons d'homogénéité, on posera )?
Vers quelle fonction de converge quand pour la deuxième discrétisation (pour des raisons d'homogénéité, on posera )?

Question 3.6 Pour chaque discrétisation représenter graphiquement l'allure de la solution pour

éléments et la limite obtenue à la question précédente. Commenter (comparer éventuellement à la solution exacte obtenue à la question 1.10).

Question 3.7 Pour un problème statique, on s'intéresse succinctement à un chargement réparti constant par élément (qui se traduit dans l'équilibre d'un élément par un second membre

pour les ressorts de traction ou

pour les ressort de torsion). Pour les deux discrétisations, quelle est la régularité de la solution si (

) (respectivement (

)) tend vers une fonction continue ? si

(respectivement

) tend vers une fonction continue par morceaux? Plus que des démonstrations mathématiques, donner des interprétations physiques du problème, éventuellement illustrées.

3.2 Formalisme matriciel

L'équilibre dynamique d'une poutre discrétisée peut se mettre sous la forme :

où

sont des matrices carrées

est un vecteur représentant les efforts extérieurs (puisque

, il peut être éliminé).

Question 3.8 Donner l'expression de

pour la poutre discrétisée à l'aide de ressorts de traction, soumise à un chargement

à son extrémité droite.

On admet que la matrice

est symétrique définie positive et la matrice

est symétrique. Si on reprend la définition des modes propres ("solution harmoniques en temps du problème homogène") on trouve que la recherche de modes propres discrets se traduit par un problème aux valeurs propres généralisé :

Question 3.9 Montrer que les hypothèses formulées précédemment sur

suffisent à l'existence de

valeurs et modes propres.

Question 3.10 Prouver que si

alors

sont orthogonaux au sens des matrices

On choisit alors systematiquement de normer les vecteurs propres par la masse (ie

Pour la suite on prend des matrices de la forme :

où

sont des réels positifs homogènes respectivement à une masse et à une raideur (ces matrices ne correspondent pas aux discrétisations précédentes, mais conduisent à des calculs plus "légers"). On pourra noter

.
Question 3.11 Pour une discrétisation à deux éléments, calculer les valeurs et vecteurs propres du système.

4 Notions d'observabilité et de contrôlabilité

On considère le système décrit par l'équation matricielle :

où

est une matrice symétrique définie positive de dimension

est une matrice symétrique de dimension

ne dépendent pas du temps,

sont des vecteurs de dimension

dépendant du temps. On admet l'existence de

valeurs et vecteurs propres (

) vérifiant

On admet que ces vecteurs propres sont orthogonaux au sens de

.
Pour les applications on utilisera les matrices de l'équation (18) de dimension

(discrétisation en deux éléments).

Cette partie cherche des réponses à deux questions :

Est-ce qu'un protocole permet de connaître l'état du système ?
Est-ce qu'un protocole permet de modifier l'état du système?

4.1 Notion d'état

Par état on entend non seulement la valeur des déplacements mais aussi la vitesse à un instant donné. On introduit donc la variable d'état

, qui est donc un vecteur de dimension

fonction du temps.
Question 4.1 Montrer que l'évolution de

est gouvernée par une équation différentielle du premier ordre que l'on écrira sous la forme

Donner les expression de

.
Question 4.2 Que devient cette équation quand on l'étudie dans la base des modes propres

? Quelle est l'expression des matrices associées?

4.2 Systèmes linéaires commandés / observés

On considère ici que le chargement

est une commande imposée par l'utilisateur de la forme

où

est une fonction scalaire et

un vecteur indépendant du temps. On considère également qu'un appareil de mesure schématisé par un vecteur ligne

permet de capter une information scalaire

sur l'état du système. Autrement dit :

Question 4.3 Donner l'expression de

pour

avec

donné.

4.2.1 Stabilité

Un système est dit stable, si et seulement si pour toute condition initiale

et pour toute commande

bornée, l'état

reste borné.

Question 4.4 Montrer que le système est stable si et seulement si toutes les valeurs propres de A sont à partie réelle négative. On pourra utiliser la décomposition de l'espace en sous-espaces propres de

et étudier l'évolution du système sur chacun de ces sous-espaces.

Question 4.5 Le système de la poutre discrétisée en deux éléments est-il stable? Interpréter le résultat.

On note pour la suite le polynôme caractéristique de la matrice

sous la forme

4.2.2 Commandabilité

Le système (22) est dit commandable si, pour tout couple d'états (

), il existe un temps

fini, ainsi qu'une commande

, qui appliquée au système est telle que (

) implique (

L'objectif ici est de démontrer que (22) est commandable si et seulement si la matrice de commandabilité

est de rang

.
Question 4.6 Montrer que (22) est commandable si et seulement si la matrice

est définie pour au moins une valeur de

strictement positive.
Question 4.7 Montrer que si

est définie si et seulement si

est de rang

Question 4.8 Quelle est la matrice

associée à un effort imposé en bout de poutre? Montrer qu'un tel système est commandable.

De manière à élaborer un contrôleur le plus simplement possible, on se place dans une base adaptée (dite base canonique commandable).

Question 4.9 Montrer que, si le système (22) est commandable, il existe un changement de repère

tel que :

avec

Pour ce faire, on pourra considérer la dernière ligne

de l'inverse de la matrice de commandabilité

et étudier des matrices du type:

On appelle bouclage linéaire une commande pour (22) du type

où le vecteur ligne

est appelé vecteur des gains de contre-réaction, et le scalaire

commande auxiliaire.

Question 4.10 Montrer, grâce au changement de base

introduit dans la section précédente, qu'il est toujours possible, par un choix judicieux de

, de stabiliser tout système du type (22).

Question 4.11 Proposer un bouclage linéaire

de sorte que le système de la poutre discrétisée en deux éléments soit auto-amorti. Autrement dit, chercher un bouclage

rendant la partie réelle de toutes les valeurs propres de A strictement négative. On pourra, par exemple, rendre les parties réelles toutes égales à un même nombre strictement négatif.

4.3 Observabilité

L'objectif de l'étude de l'observabilité est de déterminer dans quelle mesure il est possible de reconstituer l'état complet d'un système dont on n'observe qu'une partie.

Kalman a montré que cette notion est duale de la commandabilité. Il n'y a dès lors aucune surprise à ce que les questions suivantes (et leurs réponses) calquent les résultats établis dans la section précédente.
(22) est dit observable si pour tout

, il existe un temps

fini tel que si

, alors la connaissance de

sur

permet de calculer

L'objectif des deux prochaines questions est de démontrer que (22) est observable si et seulement si la matrice d'observabilité suivante est de rang

Question 4.12 Montrer que (22) est observable si et seulement si la matrice

est définie pour au moins une valeur de

strictement positive.
Question 4.13 Démontrer la condition d'observabilité (on pourra invoquer le résultat obtenu à la question 4.7).

Question 4.14 On choisit d'observer le déplacement en bout de poutre. Quelle est la matrice

associée? Montrer que le système est observable.

Question 4.15 Si la paire

est observable, montrer qu'il existe une matrice inversible

, telle que les matrices

, dans la base induite par

s'écrivent :

avec

Ayant caractérisé l'observabilité d'un système linéaire, se pose la question de parvenir à construire un système équivalent au système complet, construit uniquement à partir d'observations partielles. Pour cela, on introduit un observateur

, c'est-à-dire une quantité qui converge vers

quand la variable temps

tend vers l'infini.

On appelle observateur asymptotique linéaire un système de la forme :

tel que

tend vers

lorsque

, quelles que soient les conditions initiales

Question 4.16 Montrer, en se plaçant dans la base induite par

, que tout système linéaire commandé-observé admet un observateur asymptotique

. On introduira l'erreur de l'observateur :

Question 4.17 Proposer un observateur asymptotique

pour la poutre dont on observe le déplacement à l'extrémité.

4.4 Bilan commandabilité / observabilité

Grâce aux résultats démontrés dans les deux sections précédentes, on sait déterminer si un système est commandable et observable. Si tel est le cas, on sait construire un contrôleur du système, ainsi qu'un observateur. L'idée naturelle qui vient, est d'utiliser l'observateur, qui reconstitue l'état du système à partir de mesures partielles, dans le contrôleur du système complet, qui est capable de stabiliser le système vers toute commande prédéfinie.

Cette démarche s'appelle le principe de séparation estimation-commande. On peut montrer que le contrôleur muni de l'observateur, stabilise le système linéaire commandé-observable, quelles que soient les conditions initiales de

et de