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X ENS Mathématiques PSI 2023

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Algèbre bilinéaire et espaces euclidiensProbabilités finies, discrètes et dénombrementCalcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Topologie/EVN

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X-ENS PSI X-ENS 2023 PSI Maths Maths 2023

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ECOLES NORMALES SUPERIEURES ECOLE POLYTECHNIQUE

CONCOURS D'ADMISSION 2023

LUNDI 17 AVRIL 2023 08h00-12h00 FILIERE PSI

MATHEMATIQUES (XUSR)

Notations et RAPPELS

On notera l'ensemble des réels positifs ou nuls et l'ensemble des réels strictement positifs.
On rappelle que si est un fermé borné et est continue, alors le minimum de sur est atteint, c'est-à-dire qu'il existe tel que pour tout .
Soit un espace vectoriel sur . On dit que est un ensemble convexe si pour tous et tout on a .

Pour

convexe, une fonction

est dite convexe, si pour tous

éléments de

et tout

, on a

. On dit que

est strictement convexe si cette inégalité est stricte pour

Soient et deux ensembles et . On dit que admet un point selle en si pour tout on a

Toutes les variables aléatoires seront supposées définies sur un espace probabilisé commun .

Les parties I et II sont indépendantes.

I. Convexité et points selles

Soient

deux entiers positifs non nuls et

un espace vectoriel sur

.
(1) Soient

un ensemble convexe. Soient

deux fonctions convexes de

dans

.
(a) Montrer que

est convexe, et strictement convexe s'il l'une des deux fonctions

est strictement convexe.
(b) On suppose

strictement convexe. Vérifier que le minimum de

est atteint sur

en au plus un point de

.
(2) Soit

une matrice de

lignes et

colonnes. On note

le produit scalaire entre deux vecteurs

celui entre deux vecteurs

.
(a) Montrer que pour tout

, on a

où

désigne la matrice transposée de

.
(b) En déduire que

où

désigne l'orthogonal de

pour le produit scalaire sur

pour tout sous-espace vectoriel

.
(c) Montrer que

(3) On considère un ouvert

une application

. On suppose qu'il existe

un minimum de

sur l'ensemble

.
(a) Montrer que pour tout

tel que

on a

où

désigne le gradient de

.
(b) Montrer l'existence de

tel que

.
(c) En déduire que l'application

telle que

vérifie

pour tout

où

désigne la dérivée partielle de

par rapport à la

-ième coordonnées de

.
(d) Conclure que si

est convexe, et

convexe sur

, alors

admet un point selle en (

), c'est-à-dire que l'on a

pour tout

II. Entropie et codage

Soient

un ensemble fini et

une loi de probabilité sur

. On suppose que

charge tous les points de

pour tout

. On appelle entropie de

la quantité

On considère l'ensemble

. Pour tous

tels que

pour tout

, on définit :

avec

définie par

pour

et prolongée en 0 par continuité.
(4) (a) Préciser

.
(b) Vérifier que

est continue strictement convexe positive et que

si et seulement si

.
(c) Montrer que

est convexe et que

est strictement convexe positive et s'annule ssi

Soit

un ensemble fini. On appelle mot

une suite finie d'éléments de

, on le note

est la longueur du mot

, notée

. Le mot vide est noté

, il est de longueur nulle. On note

l'ensemble des mots sur

l'ensemble des mots privé du mot vide.

On définit la concaténation

de deux mots

par

. On dit que

est un préfixe de

pour

Soient

un ensemble fini non vide et

une application injective. On dira que

est un code binaire sur

. On suppose de plus que

est un code préfixe, c'est à dire que pour tous

dans

n'est pas un préfixe de

.
(5) On définit

tel que pour tout

où

est le premier élément du mot

.
(a) Vérifier que pour tout

, si

alors

n'est pas un préfixe de

.
(b) Pour

on note

. Montrer que si

contient au moins deux éléments, alors la restriction de

est un code préfixe sur

.
(c) En déduire que

. (Ind. : On pourra décomposer la somme en une somme sur

et raisonner par récurrence sur

)

Soient

une variable aléatoire à valeurs dans

de loi

.
(6) (a) Vérifier que

.
(b) En déduire que

.
(Ind. : On pourra chercher à exprimer

en fonction de

)

III. Transport régularisé

Dans toute la suite

désignent deux ensembles finis.

On considère et tels que si bien que et peuvent être considérés comme définissant deux lois de probabilités sur et .
Dans la suite on notera

On notera

l'élément de

défini par

pour tout

.
(7) Vérifier que

est un ensemble convexe de l'espace vectoriel

(8) Soient

deux variables aleatoires telles que

est à valeurs dans

à valeurs dans

.
(a) Vérifier que si

, alors

.
(b) On suppose que

avec

. Calculer la loi de

et celle de

en fonction de

.
(c) Que dire de

lorsque

Soient

. On considère

définie par

où

est défini dans la partie précédente en prenant

.
(9) Montrer que

est strictement convexe sur

.
(10) (a) Vérifier que

est un fermé borné de

.
(b) Montrer qu'il existe un unique

minimisant

sur

.
(c) En considérant un contre-exemple simple, montrer que l'unicité n'est plus vraie si on suppose que

.
(11) (a) Vérifier que

pour tout

(Ind: On pourra raisonner par l'absurde et considérer pour tout

puis observer le comportement de

au voisinage de

).
(b) Montrer que cecin'est plus vrai si on suppose que

IV. Dualité

On définit

défini par

(12) (a) Vérifier que

est un ouvert convexe

.
(b) Montrer qu'il existe

tel que

est un point selle de

. (Indication : On pourra identifier

avec

pour

cardinal de

somme des cardinaux de

puis utiliser la question 3 de la partie I.)
(13) (a) Montrer que pour tout

, le minimum de

sur

est atteint en

.
(b) Calculer la valeur de

.
(c) Vérifier que

est concave sur

.
(14) Vérifier que si

sont définies par

alors pour tout

, on a

pour tout

Soit

. Pour tout

, on considère

(15) Montrer que la suite

est croissante.
(16) On suppose qu'il existe

tel que

0 pour tous

. On note

.
(a) Montrer que

.
(b) Montrer que

.
(c) Montrer qu'il existe une constante

telle

pour tout

.
(d) En déduire que