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X ENS Mathématiques PSI 2021

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Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Suites et séries de fonctionsProbabilités finies, discrètes et dénombrementIntégrales à paramètresSéries entières (et Fourier)
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X-ENS
Année
2021
Filière
PSI
Matière
Maths
X-ENS PSIX-ENS 2021PSI MathsMaths 2021
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Écoles Normales Supérieures - École Polytechnique Concours d'admission 2021
Filière PSI
Épreuve de mathématiques
Durée : quatre heures
(calculatrices interdites)

Préambule

On s'intéresse dans ce problème à certains sous-ensembles de l'espace des fonctions à valeurs réelles et continues sur . On peut classiquement définir les opérations d'intégration et de dérivation de sorte qu'en particulier la composition soit l'opérateur identité, où la notation o désigne l'opérateur de composition usuel.
On cherche alors à définir pour tout réel des opérateurs fractionnaires d'intégration et de dérivation tels que soit l'identité et tels que pour tout on ait :
En particulier pour , on cherche à définir une racine carrée de , i.e. un opérateur tel que .
Parmi les nombreuses approches possibles, nous allons suivre celles de Riemann-Liouville et Caputo.
  • On commence par des préliminaires sur la fonction Gamma;
  • on démontre ensuite une version simple du théorème de Fubini pour des fonctions continues sur un carré et qu'on s'autorisera à utiliser dans la suite du problème dans un cadre plus général, cf. la question 2) ;
  • on introduit enfin la transformation de Laplace et on prouve son caractère injectif sur les fonctions continues.
    L'intégration fractionnaire est définie dans la partie A alors que les dérivées fractionnaires le seront dans la partie B. Dans la dernière partie on s'intéressera enfin à deux équations différentielles fractionnaires simples.
Le candidat est libre d'admettre les résultats de la partie Préliminaires, pour aborder les parties , et . Pour simplifier les arguments dans les préliminaires on se restreint aux fonctions continues sur , alors qu'on aura parfois besoin de considérer des fonctions continues sur intégrables au voisinage de 0 . Le candidat est autorisé à utiliser les résultats des préliminaires dans ce cadre plus général.

Préliminaires

  1. On considère la fonction Gamma définie par : .
    (a) Montrer que est bien définie pour réel strictement positif.
    (b) Montrer que pour tout , on a la relation et en déduire que pour tout on a !.
  • On admettra pour la suite que la fonction Gamma précédente peut être prolongée en une fonction qu'on notera encore , définie sur et vérifiant l'équation fonctionnelle pour tout : l'écriture n'est alors valable que pour . Pour tout entier , on pose en outre .
  • On utilisera aussi sans justification l'égalité suivante:
où sont des réels strictement positifs.
2. Soit strictement positif et soit définie et continue. Dans cette question on cherche à établir la version simple suivante du théorème de Fubini :
que le candidat pourra utiliser dans la suite du problème pour lorsque converge.
(a) i. Pour fixé, soit définie pour . Montrer que tend vers 0 lorsque tend vers 0 .
ii. Montrer avec soin la continuité de sur .
iii. Calculer la dérivée de la fonction .
(b) Pour tous , on introduit .
i. Expliciter la dérivée partielle .
ii. Expliciter .
iii. Donner alors une expression de la dérivée de .
(c) Déduire de ce qui précède une preuve de l'égalité ( ).
3. Pour des fonctions continues, on définit leur produit de convolution :
(a) Montrer que est continue sur .
(b) Montrer que le produit de convolution est commutatif.
(c) Montrer que le produit de convolution est associatif.
4. Une fonction continue est dite d'ordre exponentiel s'il existe des réels et tels que pour tout , on ait : . Pour une telle fonction , on définit alors sa transformée de Laplace :
(a) Montrer que est bien définie pour tout réel assez grand.
(b) Montrer que si est de classe avec et d'ordre exponentiel, alors pour assez grand, .
(c) Soient et des fonctions continues sur et d'ordre exponentiel. Montrer que est d'ordre exponentiel.
(d) Sous les hypothèses de la question précédente, en utilisant ( ) pour , montrer que, pour assez grand,
  1. On cherche à présent à montrer que pour tout assez grand si et seulement si .
    (a) Justifier qu'on peut se ramener à chercher les fonctions telles que pour tout assez grand.
    (b) Soit une fonction continue telle que pour tout , on ait : 0 . Montrer que , et en déduire que est la fonction nulle.
    Indication : on pourra utiliser, sans justification, le théorème d'approximation de Weierstrass qui établit l'existence pour tout , d'un polynôme tel que : .
    (c) En déduire que est injective.
Indication : on pourra utiliser un changement de variable .
Dans la suite du problème le candidat pourra librement utiliser les résultats de ces préliminaires dans le cas où les fonctions ne sont plus nécessairement continues en 0 mais y sont seulement intégrables.

A - Intégration fractionnaire

  1. Pour une fonction continue en 0 et intégrable au voisinage de 0 , on note et pour tout on définit par récurrence :
Montrer que , puis que :
  1. Pour tout réel , on note définie par :
en convenant que pour négatif ou nul, est la fonction nulle.
(a) Quelle est la dérivée de ?
(b) Montrer, en utilisant ( ), que pour tous des réels strictement positifs, on a : .
(c) Expliciter pour .
8. Pour tout réel , on définit :
et on note l'opérateur identité, i.e. . D'après la question 6 ), pour tout , on a donc .
(a) Montrer que pour tous réels positifs, on a : .
(b) On suppose d'ordre exponentiel. Pour , montrer que est bien défini pour assez grand, et égal alors à .
(c) Pour et des réels strictement positifs, montrer que .
(d) Soit d'ordre exponentiel et soit . Montrer que est la fonction nulle si et seulement si est la fonction nulle.

B - Dérivées fractionnaires

On note l'opération de dérivation usuel, lorsque est dérivable. Par récurrence, lorsque cela est possible, on définit de sorte que trivialement soit l'opérateur identité.
9. Pour dérivable fois, montrer que .
10. Étant donné un réel , on note l'entier tel que , et on déduit , i.e., sous réserve d'existence,
et on note l'opérateur identité.
Remarque: on ne demande pas au candidat de donner des conditions nécessaires pour l'existence de .
(a) Pour tout , expliciter .
(b) Pour 𝟙, expliciter 𝟙 et préciser pour quel , la fonction 𝟙 est la fonction nulle .
(c) Pour et , montrer que .
(d) Pour d'ordre exponentiel, montrer que est la fonction nulle si et seulement si s'écrit sous la forme , où .
11. Loi des exposants.
(a) Soient et . Calculer et .
(b) Soient et . Calculer et .
(c) Soit où et admet un rayon de convergence .
Montrer alors que pour tous et , on a : .
12. Soit un réel et . On pose alors, sous réserve d'existence, , i.e.
(a) Soit une fonction de classe , telle que soit bien définie et égale à la fonction nulle. Montrer que est un polynôme de degré inférieur ou égal à .
  1. La fonction 𝟙, qui n'est pas définie explicitement dans l'énoncé d'origine, est vraisemblablement la fonction constante égale à 1 .
    (b) Soit une fonction de classe sur , et soit . Montrer que .
    (c) Soit et soit de classe sur , à valeurs réelles. Sous réserve d'existence de tous les termes, montrer que :
(d) En déduire que .

C - Deux équations différentielles fractionnaires

  1. Pour , l'équation d'Abel en est :
où est une fonction dérivable sur et d'ordre exponentiel.
(a) Exprimer en fonction de à l'aide de l'opérateur .
(b) On suppose que est d'ordre exponentiel. Exprimer la transformée de Laplace de en fonction de celle de .
14. Pour on introduit la série entière:
(a) Calculer et .
(b) Montrer que le rayon de convergence de est strictement positif.
(c) On pose et on admet qu'il est d'ordre exponentiel. Montrer que pour , on a .
(d) On pose . Montrer que .
15. On cherche à résoudre l'équation . Montrer qu'après application de l'opérateur , cette équation devient :
où on précisera les .
16. On suppose que est d'ordre exponentiel. Montrer que:
et en déduire que .
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