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X ENS Mathématiques PSI 2020

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Calcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesAlgèbre bilinéaire et espaces euclidiensGéométrieFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Topologie/EVN
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X-ENS
Année
2020
Filière
PSI
Matière
Maths
X-ENS PSIX-ENS 2020PSI MathsMaths 2020
2025_08_29_aefadaab83fa18c6a972g
ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES - ÉCOLE POLYTECHNIQUE
CONCOURS D'ADMISSION 2020
LUNDI 20 AVRIL 2020-8h00-12h00
FILIERE PSI
ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
(XUCR)
Durée : 4 heures
Aucun document n'est autorisé Aucune calculatrice n'est autorisée
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Notations

Dans tout l'énoncé, on adopte les notations suivantes:
  • Si et sont deux ensembles non vides, alors désigne l'ensemble de tous les couples de la forme avec et . Si est un entier, on note l'ensemble des -uplets ( ) avec pour .
  • Pour tout entier désigne le produit scalaire canonique sur défini par
On note la norme associée définie sur par:
On note ( ) la base canonique de .
  • Si est un ensemble non vide et une application de dans , on note la borne inférieure de l'ensemble non vide défini par
On rappelle que cette borne inférieure est bien définie si est minorée sur , c'est-à-dire s'il existe un nombre réel tel que
De même, on note la borne supérieure de . Cette borne supérieure est bien définie s'il existe un nombre réel tel que
Si et sont deux fonctions de dans , on note la fonction de dans définie par
  • Si est un entier, une fonction et une constante réelle, on dit que est -Lipschitzienne si
On dit que est Lipschitzienne s'il existe une constante réelle telle que est -Lipschitzienne.
On note l'ensemble des fonctions bornées de dans . Pour toute fonction on pose
Dans toute la suite, désignera un entier naturel non nul.

Partie I : approximation par des fonctions Lipschitziennes

Dans toute cette partie, et désignent deux nombres réels avec et . Si est une fonction minorée, on définit, sous réserve d'existence, la fonction par
  1. Soit une fonction minorée. Montrer que la fonction est bien définie sur et que
  1. Soient et deux fonctions de dans minorées. On pose . Montrer que est bien définie sur et que .
    Indication : pour prouver cette dernière identité, on peut d'abord montrer que .
  2. On suppose dans cette question uniquement que . Soit la fonction définie par
Calculer pour tout .
Indication : pour fixé, on peut décomposer tout vecteur sous la forme avec un nombre réel et un vecteur orthogonal à .
4. On suppose ici uniquement que . Soit une fonction minorée.
(a) Montrer que est -Lipschitzienne.
(b) Montrer que si et seulement si est -Lipschitzienne
(c) On se place dans le cas où pour tout . Montrer que
(d) Soit la fonction définie par : pour . Exprimer en fonction de et pour tout .
On revient désormais au cas général où . Dans toute la suite de cette partie, est une fonction fixée.
5. Montrer que et que .
6 . Soit . On pose
Montrer que , que
et que
  1. On suppose dans cette question que est continue. Montrer que pour tout , il existe tel que
  1. Montrer que pour tous et , on a
  1. On pose ici et dans toute la suite, sous réserve d'existence,
où
Démontrer les deux assertions suivantes
(a) Pour tout réel est bien défini et
(b) La fonction est croissante.
10. Montrer que
ù
  1. Montrer que les deux assertions suivantes sont équivalentes:
    (i) La suite de fonctions converge uniformément vers .
    (ii) .

Partie II : fonctions concaves

On dit que est concave si pour tous et ,
On dit que est convexe si est concave.
Dans la suite, sera une fonction concave de dans .
12. Soit une autre fonction concave de dans . Montrer que et sont concaves.
13. Montrer que pour tout entier , si et vérifient , alors
  1. Soient deux points distincts de et . On pose . Montrer que
  1. Soit un réel fixé. On note les éléments de (énumérés dans un ordre arbitraire).
    (a) Montrer que pour tout , il existe tels que
Indication : on peut procéder par récurrence.
(b) Montrer qu'il existe une constante réelle telle que :
(c) En déduire que
Indication : on peut observer que pour tout
(d) En déduire que pour tous on a
Indication : on peut considérer un point avec un nombre réel convenablement choisi.
(e) Montrer que est continue sur .
16. Soit un ensemble convexe fermé non vide et .
(a) Montrer qu'il existe tel que
(b) Montrer que
(c) En déduire que est unique.
17. On note . On fixe dans la suite de cette question et un nombre réel .
(a) Montrer qu'il existe un unique tel que
(b) Montrer que .
(c) On pose désormais . Montrer que
(d) En déduire les deux inégalités
(e) On suppose dans cette question que . Montrer qu'il existe une constante dépendant uniquement de et de , et indépendante de , telle que
  1. Soit une suite réelle vérifiant: .
On définit les suites et de la manière suivante :
et
  • pour tout entier :
  • si l'ensemble est infini alors
  • sinon
(a) Montrer que ces deux suites et sont adjacentes.
(b) Montrer que pour tout entier , l'ensemble est infini.
(c) En déduire qu'il existe une suite extraite qui converge.
19. Montrer l'existence d'un vecteur tel que
Indication : on peut considérer les éléments de
  1. Déterminer toutes les fonctions qui sont à la fois convexes et concaves.

Partie III : fonctions semi-concaves

Soit une fonction de dans et un nombre réel. On dit que est -semiconcave si la fonction est concave. On dit que est -semi-convexe si est -semi-concave.
La fonction est semi-concave s'il existe une constante telle que est -semi-concave. Enfin, on dit que est semi-convexe si est semi-concave.
21. Soit un nombre réel et . On rappelle que quand est définie par
Montrer que, dans ce cas, est -semi-concave.
22. On suppose dans cette question et dans toute la suite que est une fonction -semi-concave. Montrer que pour tout , il existe tel que
  1. (a) Montrer que pour tout , la fonction est concave.
    (b) Montrer qu'il existe une constante telle que pour tous vérifiant ,
(c) Montrer que est -Lipschitzienne.
24. On suppose dans cette question que est à la fois -semi-concave et -semiconvexe.
(a) Montrer que pour tout , il existe tels que
(b) Montrer que pour tout on a .
(c) Conclure que admet des dérivées partielles en tout et que (où l'on a noté le vecteur de dont les coordonnées dans la base canonique sont les dérivées partielles en de ).
(d) Montrer que pour tous on a l'inégalité
Indication : on peut utiliser l'inégalité suivante après l'avoir justifiée :
valables pour tous .
(e) En déduire que pour tous on a et que est de classe .
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