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X ENS Mathématiques PSI 2018

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Probabilités finies, discrètes et dénombrementFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)RéductionTopologie/EVNEquations différentielles
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X-ENS
Année
2018
Filière
PSI
Matière
Maths
X-ENS PSIX-ENS 2018PSI MathsMaths 2018
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X-ENS PSI 2018

On note l'ensemble des fonctions continues de dans et pour tout , on note l'ensemble des fonctions de classe de dans . On dit qu'une fonction est positive si :
Pour toute fonction , on définit sa norme infinie par :
Etant donné un entier , on note l'ensemble des matrices carrées de taille . On définit également la matrice identité de taille . Si , on note :
Si est une variable aléatoire réelle, on note, sous réserve d'existence, et son espérance, respectivement sa variance.
Enfin, si et , alors désigne le nombre de parties à éléments d'un ensemble de cardinal .
On étudie ici l'équation différentielle avec conditions aux limites suivantes :
où et positive.
Après avoir montré l'existence et l'iunicité d'une solution au problème (1), on s'intéressera à la construction d'une suite d'approximations de .
Les parties 1,2 et 5 sont indépendantes. Les parties 3 et 4 nécessitent d'utiliser certains résultats établis dans les parties 1 et 2 .

1 Existence et unicité des solutions de (1)

  1. Soit . Montrer que le problème
admet une unique solution .
2. Montrer que pour tout peut s'exprimer sous la forme :
avec l'unique solution du système
et une fonction indépendante de à caractériser.
3. Montrer que .
4. En déduire qu'il existe une solution du problème (1). Montrer que cette solution est unique.
5. Montrer que si est positive, alors est également positive.

2 Une matrice de discrétisation

Soit . On considère la matrice carrée de taille , constante par diagonale :
  1. Soit un vecteur propre de associé à une valeur propre complexe . Montrer que est nécessairement réelle et que les composantes de vérifient la relation :
où on pose .
7. Montrer que toute valeur propre de est dans l'intervalle .
8. Soit une valeur propre de .
(a) Montrer que les racines complexes du polynôme
sont distinctes et conjuguées.
(b) On pose avec et .
Montrer qu'on a nécessairement et .
9. Déterminer l'ensemble des valeurs propres de ainsi qu'une base de vecteurs propres.
10. On considère la famille de matrices vérifiant les trois propriétés suivantes (appelées -matrices) :
Montrer que si est une -matrice, alors on a
(a) est inversible
(b) Si a des coordonnées toutes positives, alors aussi,
(c) tous les coefficients de sont positifs.
11. En appliquant les résultats précédents à avec , montrer que tous les coefficients de sont positifs.

3 Une suite d'approximations de la solution de (1)

Soit fixé. On note et on considère les réels définis par pour tout .
12. Montrer que pour toute fonction , il existe une constante , indépendante de , telle que
  1. Montrer qu'il existe une unique famille de réels vérifiant
  1. On suppose (dans cette question seulement) que et pour tout . On note la solution exacte du problème (1). Montrer que pour tout , on a
  1. Montrer que si est positive, alors pour tout .

4 Un premier résultat de convergence

Dans toute cette partie, on supposera de plus que et que (c est toujours positive également).
16. Soit . On définit l'application de dans par la relation :
Montrer que est une norme sur et que si , alors
  1. Soit .
    (a) En utilisant les résultats des questions 14 et 15 , montrer que pour la matrice définie au début de la partie 2 , on a :
(b) En déduire que pour toute matrice diagonale telle que pour tout , on a également
  1. Soit l'unique solution du problème (1) et la famille définie par la relation (2) pour . Montrer qu'il existe une constante , indépendante de , telle que
Indication : on pourra introduire le vecteur où on a posé et calculer .

5 Un second résultat de convergence

On suppose dans cette partie que est telle que :
On suppose également que :
On note la solution associée au système (1).
Pour tout , on définit les deux polynômes :
où sont solutions du système (2), avec .
19. Soit et . On considère des variables aléatoires mutuellement indépendantes et suivant toutes la même loi de Bernoulli de paramètre . on pose
(a) Exprimer et en fonction de et du polynôme .
(b) En déduire les inégalités :
  1. Montrer que pour tout réel et en déduire l'inégalité :
pour tous et .
21. Soit . Montrer que
Indication : On pourra dans un premier temps exprimer en fonction de .
22. Montrer que pour tout et tout on a :
  1. Soit tel que . On pose .
    (a) Montrer que
(b) Montrer que pour tout il existe tel que
Indication : on pourra pour considérer la fonction
  1. En déduire qu'il existe une constante telle que pour tout , on a
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