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X ENS Mathématiques PSI 2015

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Algèbre bilinéaire et espaces euclidiensFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Calcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesGéométrieIntégrales généralisées
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Banque
X-ENS
Année
2015
Filière
PSI
Matière
Maths
X-ENS PSIX-ENS 2015PSI MathsMaths 2015
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Banque commune École Polytechnique - InterENS

PSI

Session 2015

Épreuve de Mathématiques

Durée: 4 heures

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Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Dans tout le problème, on adopte les notations suivantes :

  • Pour et désignent les parties réelle et imaginaire de respectivement, désigne le conjugué de , et le module de .
  • Pour , on identifie les vecteurs de avec les éléments de .
  • Pour et deux vecteurs de désigne le produit vectoriel de et . On pourra utiliser librement la formule du double produit vectoriel
  • Pour et désigne le produit scalaire euclidien de et et .
  • Soit un intervalle de . Lorsque , on note et les applications partielles correspondantes.
    Pour , si l'application partielle , on note et ses dérivées.
    Pour , si l'application partielle , on note sa dérivée.
  • Soit un intervalle de . Lorsque , on note et les applications partielles correspondantes.
    Pour , si , on note
Pour , si , on note
  • Soit . Lorsque , on dit que si et seulement si pour tout . Dans ce cas, on note .
  • On dit qu'une fonction est périodique s'il existe tel que pour tout , on ait .
  • désigne la matrice carrée identité de taille 3 .
  • Pour est la matrice

Partic (I).

Soit . On dit que est une solution de l'équation si et
Dans les questions 1 à 7 de la Partie (I) on suppose que . De plus, on suppose qu'il existe une solution de ( ) qui vérifie et .
  1. On pose et . Exprimer et en fonction de et .
  2. Montrer que
  1. Montrer que
et que
  1. Le but de cette question est de démontrer qu'il existe tel que
(a) Montrer que
(b) Montrer que
(c) En déduire qu'il existe tel que
(d) Montrer qu'il existe tel que
(e) Conclure.
5.
(a) On suppose dans cette question que . Montrer qu'il existe tel que
(b) En déduire que .
6. Montrer que n'est pas périodique.
7. Pour , on pose
(a) Existe-t-il tel que soit périodique?
(b) Exprimer et en fonction de et .
(c) Justifier que pour tout on a et , puis démontrer que vérifie l'équation ( ) :
  1. Soit une suite à termes complexes telle que la série de terme général est absolument convergente. Pour on note alors
(a) Montrer que est bien définie sur .
(b) Montrer que pour tout , on a et . Calculer et .
(c) Soit une suite à termes complexes telle que la série de terme général est absolument convergente. Pour , on pose
Construire une fonction définie sur qui vérifie :
  • Pour tout et , et est solution de l'équation c'est-à-dire
  • Pour tout est périodique;
  • Pour tout .

Partie (II).

Pour , on note la matrice
  1. Pour et , on introduit la matrice
Montrer que la suite converge vers une limite notée . Exprimer en fonction de , où dépend de et .
10. Montrer que pour tout et et vecteurs de , on a . En déduire que .
11. Montrer que et que pour tout on a .
12. Montrer que pour . Interpréter géométriquement l'application .
13. Donner une condition nécessaire et suffisante sur pour que la suite converge dans .

Partie (III).

On suppose que vérifie
et que de plus
On pose
  1. Montrer que pour tout .
  2. Montrer que pour tout .
  3. Pour , on définit , où est définie à la question 9 . Montrer que pour tout on a et , puis établir que
On suppose dans toute la suite de cette partie que
à
On suppose de plus qu'il existe tel que
  1. Montrer que pour tout , on a , où l'on note la première coordonnée de .
  2. Montrer que .
  3. Montrer que pour tout , on a .
20 . Pour , on introduit les vecteurs
de sorte que forme une base orthonormale directe.
(a) En utilisant la question 15, montrer que pour tout , on a .
(b) En déduire que .
(c) Montrer que vérifie
(a) Écrire l'équation différentielle linéaire , où , sous la forme d'un système différentiel , où et où , avec . On précisera et .
(b) Montrer que les coordonnées et de vérifient
(c) Montrer que pour tout .
(d) Établir que si ne s'annule pas sur alors est une application injective sur .
22.
(a) Montrer que
Indication : On pourra admettre que pour , si vérifie pour tout , alors
(b) En déduire qu'il existe tel que si alors il existe tel que .
23. Soit telle que et pour tout . On note et . On admet qu'il existe et tels que
Exprimer et , puis montrer qu'il existe tel que la fonction
est solution de l'équation ( ) définie à la question 7 (c), c'est-à-dire
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