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X ENS Mathématiques PSI 2013

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Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Calcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesIntégrales généraliséesIntégrales à paramètresSéries entières (et Fourier)
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Banque
X-ENS
Année
2013
Filière
PSI
Matière
Maths
X-ENS PSIX-ENS 2013PSI MathsMaths 2013
2025_08_29_422a5afa2a97fc207f2dg

Banque commune École Polytechnique - ENS de Cachan

PSI

Session 2013

Épreuve de Mathématiques

Durée : 4 heuresAucun document n'est autoriséAucune calculatrice n'est autorisée

Abstract

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

On note l'ensemble des entiers naturels, l'ensemble des nombres réels, l'ensemble des nombres réels positifs ou nuls, l'ensemble des nombres réels strictement positifs, l'ensemble des nombres réels strictement négatifs, et .
Pour intervalle de , on note l'ensemble des fonctions continues sur à valeurs dans . Pour une fonction continue et bornée sur , on pose .
On note pour et
On pourra librement utiliser la formule .
  1. a) Montrer que si et , l'intégrale qui définit est convergente.
    b) Quel est l'intervalle des tels que l'intégrale qui définit est convergente?
    c) Calculer et pour (en fonction de et !).
  2. a) Soit . Montrer que est continue sur .
    b) Soit . Montrer que est continue sur .
    c) Montrer que pour et ,
En déduire la valeur de lorsque , en utilisant le changement de variable .
3. a) Soit . Montrer que est de Classe sur , et calculer en fonction de .
b) Soit . La fonction est-elle de classe sur ? Quel est le sens de variation de sur ? La fonction est-elle convexe sur ?
c) Discuter en fonction de la dérivabilité à droite de en 0 .
4. a) Soit et . Calculer en fonction de et . On pourra pour cela considérer la quantité
pour .
b) Soit . trouver une relation entre et pour .
5. a) Soit et . Effectuer le changement de variable dans l'intégrale qui définit . On justifiera soigneusement le calcul.
b) Soit . Justifier l'existence de la quantité et la calculer.
c) Montrer que pour , !.
d) Soit . Montrer que le rayon de convergence de la série entière vérifie .
e) Soit . Montrer que pour ,
  1. Pour , on pose .
    a) Montrer que pour , la fonction est convexe et admet un unique minimum en , que l'on déterminera. Calculer .
    b) Soit , et . Montrer en utilisant l'inégalité que
c) Montrer que pour tout (et ), l'on peut trouver tel que
En déduire que pour tout ,
d) Montrer que
  1. a) Montrer que pour ,
En déduire que pour et que
si .
b) Soit , et . On pose
Montrer que est bien définie pour et que
  1. Soit , et continue et intégrable sur . On pose pour et :
a) Montrer que définit une fonction de .
b) Montrer que pour , la fonction est de classe sur et
  1. On admet dans cette question le théorème suivant : Soit . Si est une application de dans vérifiant
alors il existe un unique tel que .
a) Soit et . Montrer que si , il existe une unique fonction telle que
b) Soit , et continue et intégrable sur . Montrer qu'il existe une fonction de dans telle que
é
L'équation pour laquelle on a démontré un théorème d'existence est un modèle simplifié pour l'acoustique des gaz raréfiés.
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