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X ENS Mathématiques PSI 2012

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Algèbre bilinéaire et espaces euclidiensCalcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesTopologie/EVN
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Banque
X-ENS
Année
2012
Filière
PSI
Matière
Maths
X-ENS PSIX-ENS 2012PSI MathsMaths 2012
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Banque commune École Polytechnique - ENS de Cachan
PSI

Session 2012

Épreuve de Mathématiques

Durée : 4 heures

Aucun document n'est autorisé

L'usage de calculatrice électronique de poche à alimentation autonome, non imprimante et sans document d'accompagnement, est autorisé selon la circulaire du février 1999. De plus, une seule calculatrice est admise sur la table, et aucun échange n'est autorisé entre les candidats.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Dans tout le problème, on dit qu'une fonction définie sur et à valeurs dans est coercive si et seulement si elle est continue et vérifie
où la norme de correspond à la norme euclidienne sur .
L'objectif du problème est d'étudier certains exemples de fonctions coercives, de montrer en particulier qu'elles possèdent toujours un ou plusieurs minimum global et d'en étudier des méthodes d'approximation. Le préambule contient un résultat utilisé tout au long du problème. Les quatre parties sont assez largement indépendantes.
On note (.,.) le produit scalaire euclidien sur et pour toute fonction de classe de dans le vecteur gradient de au point formé des dérivées partielles .

PREAMBULE

  1. Soit une fonction coercive de dans . Montrer qu'il existe un réel tel que si , alors
  1. En déduire qu'il existe un élément tel que
On dit alors que est un minimum global de sur .
3. On suppose de plus que est de classe sur . Que peut-on dire de ?

PARTIE 1

Dans cette partie, on considère la fonction de dans telle que
où et est une matrice symétrique telle que
  1. Montrer que est coercive.
  2. Montrer que est de classe de dans et que
En déduire que possède un unique minimum global noté .
6. On considère la suite d'éléments de telle que quelconque et
où est un réel positif fixé. Montrer que
où désigne la matrice identité de taille 3 .
7. On note la plus grande valeur propre de (en valeur absolue). Montrer que si , alors la suite est convergente vers .

PARTIE 2

Dans cette partie, on considère la fonction de dans telle que
On s'intéresse aux suite réelles , appelées suites de descente par gradient de , définies de la manière suivante :
avec
et où est un réel choisi dans l'intervalle si et si .
8. Montrer que si est une suite de descente par gradient de , alors
  1. On considère la suite telle que et
Montrer que est une suite de descente par gradient pour la fonction qui ne converge pas vers le minimum global de .
10. On considère la suite telle que et
Montrer que est une suite de descente par gradient pour la fonction non convergente.

PARTIE 3.

Soit et une fonction de classe de dans . On note
  1. Montrer que est non vide si et que si , alors
est également non vide.
On considère une suite à valeurs dans telle que
avec
On dit alors que est une suite de descente par gradient pour la fonction .
12. Vérifier que la définition précédente coïncide bien avec la définition des suites de descente par gradient donnée dans la partie 2 pour la fonction particulière .
13. Dans le cas général, montrer que si est de plus une fonction coercive, alors la suite est convergente et la suite est bornée.
14. On reprend dans cette questions les notations et définitions de la partie 1. Montrer que lorsque appartient à un intervalle de qu'on déterminera, la suite est une suite de descente par gradient pour la fonction . On pourra commencer par montrer que
avec .

PARTIE 4.

Dans toute cette partie, désigne une fonction de classe , coercive de dans et une suite de descente par gradient pour la fonction (c'est à dire définie par la relation (1) de la partie 3).
15. On suppose que la suite vérifie de plus la condition suivante:
où est un réel fixé dans
Montrer que pour toute suite de descente par gradient vérifiant la condition (2), la série de terme général est minorée puis que
  1. On suppose que la suite de descente par gradient de vérifie la condition (2) et la condition supplémentaire suivante :
où et sont deux réels strictement positifs. Montrer que
  1. On suppose que la suite de descente par gradient de vérifie les conditions (2), (3) et que si ,
où est une matrice symétrique de taille dont les valeurs propres sont strictement positives. Montrer que
  1. On suppose dans cette question et la suivante que et de plus que est coercive, de classe et strictement convexe, c'est à dire :
    .
    Montrer que possède un unique minimum global sur .
  2. Les hypothèses de la question précédente sont conservées. A partir d'un réel quelconque, proposer un algorithme de construction d'une suite de descente par gradient pour la fonction qui vérifie les conditions (2) et (3). En déduire qu'une telle suite est convergente vers l'unique minimum global de (on admettra que de toute suite réelle bornée on peut extraire une sous suite convergente et que si toutes ces sous-suites convergentes possèdent une même limite, alors la suite est convergente).
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